Beweging, vervorming en rek¶

Referentie- en huidige configuraties¶

Definitie van configuraties¶

Om te onderscheiden welke vorm in de tijd als basis wordt gebruikt voor het beschrijven van fysieke grootheden, gebruikt deze handleiding twee configuraties.

Referentieconfiguratie: de onvervormde vorm aan het begin van de analyse (tijdstip \(0\)), ook de initiële configuratie genoemd. Een punt in de referentieconfiguratie wordt weergegeven door de materiaalcoördinaat \(\boldsymbol{X}\), met volume \(V\) en oppervlak \(S\).
Huidige configuratie: de vervormde vorm op tijdstip \(t\). Een punt in de huidige configuratie wordt weergegeven door de ruimtelijke coördinaat \(\boldsymbol{x}\), met volume \(v\) en oppervlak \(s\).

Beweging wordt weergegeven als een afbeelding tussen deze twee configuraties, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), en verplaatsing wordt gedefinieerd als \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Configuratieafhankelijke notatie (hoofdletters/kleine letters)¶

De lettergrootte van een symbool onderscheidt tot welke configuratie een fysieke grootheid behoort.

Grootheden die bij de referentieconfiguratie horen worden geschreven met hoofdletters (bijvoorbeeld \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Grootheden die bij de huidige configuratie horen worden geschreven met kleine letters (bijvoorbeeld \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Grootheden die beide configuraties overspannen, zoals de eerste Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{P}\), gebruiken conventionele notatie en worden waar nodig expliciet in de tekst aangeduid.
In de theorie van kleine vervormingen verdwijnt het onderscheid tussen de twee configuraties, zodat alleen kleine letters (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) worden gebruikt.

Gradiënten in referentie- en huidige configuratie¶

De notatie en betekenis verschillen afhankelijk van de configuratie ten opzichte waarvan een ruimtelijke afgeleide wordt genomen.

Gradiënt in de referentieconfiguratie \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradiënt naar materiaalcoördinaten. Voorbeeld: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradiënt in de huidige configuratie \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradiënt naar ruimtelijke coördinaten. Voorbeeld: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Zij zijn gerelateerd door \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Zie voor de conventie voor tijdsafgeleiden (materiële tijdsafgeleide \(\dot{(\cdot)}\)) Tensornotatie en wiskundige grondslagen.

Beschrijving van beweging¶

Bewegingsafbeelding en materiële/ruimtelijke beschrijving¶

Als een continuüm wordt beschouwd als een verzameling materiaalpunten die worden gelabeld door hun posities \(\boldsymbol{X}\) op tijdstip \(0\), wordt de beweging weergegeven door een afbeelding \(\phi\) die aan materiaalpunt \(\boldsymbol{X}\) zijn positie \(\boldsymbol{x}\) op tijdstip \(t\) toewijst:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Volgens de conventie dat de referentieconfiguratie de initiële configuratie is, geldt \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Er worden twee beschrijvingen onderscheiden op basis van de keuze van onafhankelijke variabelen.

Materiële beschrijving (Lagrange-beschrijving): stelt fysieke grootheden voor als functies van \((\boldsymbol{X}, t)\). In de vaste-stofmechanica is dit een natuurlijke keuze omdat de referentieconfiguratie als vaste vorm is gegeven.
Ruimtelijke beschrijving (Euler-beschrijving): stelt fysieke grootheden voor als functies van \((\boldsymbol{x}, t)\). Dit is de standaardbeschrijving in de stromingsmechanica.

De structurele analyse van FrontISTR is fundamenteel gebaseerd op de materiële beschrijving, maar de Updated Lagrange-methode gebruikt ook grootheden in de ruimtelijke beschrijving omdat de huidige configuratie als nieuwe referentieconfiguratie wordt gebruikt.

Verplaatsing, snelheid en versnelling¶

Zoals in de vorige paragraaf vermeld, wordt verplaatsing \(\boldsymbol{u}\) gedefinieerd door \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Er wordt geen aanname over de grootte ervan gemaakt, zodat eindige vervorming is inbegrepen. De snelheids- en versnellingsvectoren worden gedefinieerd als materiële tijdsafgeleiden van \(\boldsymbol{u}\) terwijl het materiaalpunt wordt vastgehouden:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Deze vergelijkingen definiëren de snelheid en versnelling.

Vervormingsgradiënt en vervormingstensoren¶

Vervormingsgradiënttensor¶

De fundamentele grootheid in de continuümmechanica van eindige vervormingen is de vervormingsgradiënttensor \(\boldsymbol{F}\). Dit is de lineaire afbeelding die een infinitesimaal lijnelement \(d\boldsymbol{X}\) in de referentieconfiguratie afbeeldt op een infinitesimaal lijnelement \(d\boldsymbol{x}\) in de huidige configuratie, en wordt gedefinieerd als de gradiënt van de bewegingsafbeelding naar de materiaalcoördinaten:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Zo gedefinieerd (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) is \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) in de onvervormde toestand. \(\boldsymbol{F}\) wordt veel gebruikt om rek en spanning te definiëren en fysieke grootheden tussen configuraties te transformeren.

Volumeverhouding¶

De verhouding van een infinitesimaal volume \(dV\) in de referentieconfiguratie tot het overeenkomstige infinitesimale volume \(dv\) in de huidige configuratie wordt de volumeverhouding \(J\) genoemd:

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Invertibiliteit van het continuüm vereist \(J > 0\). Massabehoud wordt uitgedrukt als \(\rho_0 = J\rho\).

Rechter en linker Cauchy-Green-vervormingstensoren¶

Omdat de vervormingsgradiënt \(\boldsymbol{F}\) starre-lichaamsrotatie bevat, gebruiken vervormingsmaten zelf grootheden waaruit starre-lichaamsrotatie is verwijderd. De rechter Cauchy-Green-vervormingstensor \(\boldsymbol{C}\) (referentieconfiguratie) en linker Cauchy-Green-vervormingstensor \(\boldsymbol{b}\) (huidige configuratie) worden gedefinieerd als

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Beide zijn symmetrische tensoren en hebben dezelfde eigenwaarden (de kwadraten van de hoofdrekken). De hoofdinvarianten van hyperelastische rekenergiefuncties worden met deze tensoren uitgedrukt.

Rektensoren¶

Green-Lagrange-rektensor¶

Als rekmaat die naar de referentieconfiguratie verwijst, wordt de Green-Lagrange-rektensor \(\boldsymbol{E}\) gedefinieerd door

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Het is een symmetrische tensor die de verandering in het inproduct van infinitesimale vectoren in de referentieconfiguratie weergeeft, invariant is onder starre-lichaamsrotatie en in de onvervormde toestand voldoet aan \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). Gebruik van \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) geeft

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Dit drukt de rek uit als de som van eerste- en tweede-ordetermen in de verplaatsingsgradiënt; de tweede-ordeterm stelt geometrische niet-lineariteit voor. In de Total Lagrange-methode wordt deze gebruikt als het arbeidsgeconjugeerde paar \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansi-rektensor¶

Als rekmaat die naar de huidige configuratie verwijst, wordt de Almansi-rektensor \(\boldsymbol{e}\) gedefinieerd door

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Deze is aan de Green-Lagrange-rek gerelateerd door \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Infinitesimale rektensor¶

Wanneer de verplaatsingsgradiënt klein is (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), kan de tweede-ordeterm van de Green-Lagrange-rek worden verwaarloosd. Omdat het onderscheid tussen de twee configuraties dan verdwijnt, reduceert deze tot de infinitesimale rektensor \(\boldsymbol{\varepsilon}\), waarbij de gradiënt in ruimtelijke coördinaten wordt geschreven:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR gebruikt deze rekmaat voor lineaire statische analyse, modale analyse, frequentieresponsanalyse en lineaire dynamische analyse. Analyse met eindige vervormingen gebruikt \(\boldsymbol{E}\) in de Total Lagrange-methode en de vervormingssnelheidstensor \(\boldsymbol{D}\) die naar de huidige configuratie verwijst in de Updated Lagrange-methode.