Numerieke integratie¶

De element-internekrachtvectoren \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) en elementstijfheidsmatrix \(\boldsymbol{K}^e\) die zijn verkregen in Discretisatie van interne virtuele arbeid en Externe virtuele arbeid en assemblage van de globale vergelijking, hebben de vorm van integralen over het elementdomein \(\Omega^e\) of \(\Omega^e_0\). FrontISTR evalueert deze numeriek met Gauss-kwadratuur.

Gauss-kwadratuur en variabelentransformatie¶

Gauss-kwadratuur benadert een integraal over het referentiedomein \(\Xi\) door een lineaire combinatie van de integrandwaarden op integratiepunten \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) en gewichten \(w_i\). Toepassing op het elementdomein \(\Omega^e\) omvat een variabelentransformatie via de afbeelding \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), zodat

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

waarbij \(n_q\) het aantal integratiepunten is en \(J_{\xi_i}\) de determinant van de transformatie-Jacobiaan. Het referentiedomein \(\Xi\) wordt voor elk elementtype gedefinieerd (voor een hexaëder \([-1,1]^3\); voor driehoeken, tetraëders en wiggen de overeenkomstige referentievormen), en de integratiepunten \(\boldsymbol{\xi}_i\) en gewichten \(w_i\) worden gegeven als numerieke tabellen. Oppervlakte-integralen worden in dezelfde vorm behandeld door een elementvlak vanuit een tweedimensionaal referentiedomein af te beelden.

Hieronder worden representatieve aantallen integratiepunten getoond die door FrontISTR worden gebruikt (zie voor de overeenkomst met elementtypen Elementnummeringsschema en vormfunctiebibliotheek).

Elementtype	Kwadratuurregel	Aantal integratiepunten
4-knoops tetraëder (`tet4n`)	1-puntsregel	1
10-knoops tetraëder (`tet10n`)	4-puntsregel	4
6-knoops driehoekig prisma (`prism6n`)	2-puntsregel	2
15-knoops driehoekig prisma (`prism15n`)	9-puntsregel	9
8-knoops hexaëder (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-knoops hexaëder (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-knoops vierhoek (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-knoops vierhoek (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-knoops driehoek (`tri3n`)	1-puntsregel	1
6-knoops driehoek (`tri6n`)	3-puntsregel	3

Voor hexaëdrische, vierhoekige en lijnelementen worden tensorproducten van de Gauss-Legendre-regel in elke coördinaatrichting gebruikt. Driehoeken, tetraëders en driehoekige prisma's gebruiken speciale regels die geschikt zijn voor simplexachtige geometrieën (puntconfiguraties die polynomen exact over de driehoek zelf integreren).

Toepassing op elementintegratie¶

Bij elementintegratie worden de natuurlijke coördinaten \(\boldsymbol{r}\) gebruikt als coördinaten van het referentiedomein (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), en de afbeelding naar fysische coördinaten wordt gegeven door interpolatie van knoopcoördinaten met de vormfuncties. Afhankelijk van de keuze van de referentieconfiguratie (Raamwerk voor incrementele analyse) worden de volgende formuleringen gebruikt.

Totale Lagrange-methode (integratie over de referentieconfiguratie \(\Omega^e_0\)): de afbeelding en Jacobiaan zijn

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

en de interne elementkracht en stijfheidsmatrix worden benaderd als

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Alle \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) worden geëvalueerd op integratiepunt \(\boldsymbol{r}_i\).

Bijgewerkte Lagrange-methode (integratie over de actuele configuratie \(\Omega^e\)): de afbeelding en Jacobiaan zijn

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

worden als benaderingen gebruikt.

Het enige verschil tussen de twee formuleringen is of de knoopcoördinaten die aan de afbeelding worden geleverd \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) of \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) zijn; de integratiepunten, gewichten en structuur van de integratiepuntlus zijn hetzelfde.

Volledige integratie en gereduceerde integratie¶

Integratie met voldoende integratiepunten om de polynoomgraad van de integrand exact te integreren wordt volledige integratie genoemd, terwijl integratie met één niveau minder integratiepunten gereduceerde integratie wordt genoemd. Gereduceerde integratie wordt gebruikt om shear locking en volumetrische locking te verminderen, maar vereist behandeling van ongewenste vervormingsmodi zoals hourglass-modi. Het aantal integratiepunten voor elk elementtype en de keuze tussen volledige en gereduceerde integratie worden behandeld in Elementnummeringsschema en vormfunctiebibliotheek en de daaropvolgende paragrafen, en in Geavanceerde elementformuleringen.

Gerelateerde onderwerpen¶

Ruimtelijke afgeleiden van vormfuncties — Berekening van de Jacobiaan
Discretisatie van interne virtuele arbeid — Grootheden die met numerieke integratie worden geëvalueerd
Geavanceerde elementformuleringen — Gebruik van gereduceerde integratie