Numerikus integrálás¶

A Belső virtuális munka diszkretizálása és a Külső virtuális munka és a globális egyenlet összeállítása fejezetben kapott \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) elemi belsőerő-vektorok és \(\boldsymbol{K}^e\) elemi merevségi mátrix az \(\Omega^e\) vagy \(\Omega^e_0\) elemtartomány fölötti integrálok alakját veszik fel. A FrontISTR ezeket Gauss-kvadratúrával numerikusan értékeli ki.

Gauss-kvadratúra és változótranszformáció¶

A Gauss-kvadratúra a \(\Xi\) referenciatartomány fölötti integrált az \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) integrációs pontokban vett integrandusértékek és a \(w_i\) súlyok lineáris kombinációjával közelíti. Az \(\Omega^e\) elemtartományra alkalmazva a \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) leképezésen keresztüli változótranszformációt használjuk, így

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

ahol \(n_q\) az integrációs pontok száma, \(J_{\xi_i}\) pedig a transzformáció Jacobi-mátrixának determinánsa. A \(\Xi\) referenciatartományt elemtípusonként definiáljuk (hexaéder esetén \([-1,1]^3\); háromszögek, tetraéderek és ékek esetén a megfelelő referenciaalakzat), az \(\boldsymbol{\xi}_i\) integrációs pontokat és \(w_i\) súlyokat pedig numerikus táblázatok adják meg. A felületi integrálokat ugyanilyen alakban kezeljük, az elem egyik lapját kétdimenziós referenciatartományból leképezve.

A FrontISTR által használt jellemző integrációspont-számok az alábbiak (az elemtípusokkal való megfeleltetéshez lásd az Elemszámozási rendszer és alakfüggvénykönyvtár fejezetet).

Elemtípus	Kvadratúraszabály	Integrációs pontok száma
4 csomópontos tetraéder (`tet4n`)	1 pontos szabály	1
10 csomópontos tetraéder (`tet10n`)	4 pontos szabály	4
6 csomópontos háromszögprizma (`prism6n`)	2 pontos szabály	2
15 csomópontos háromszögprizma (`prism15n`)	9 pontos szabály	9
8 csomópontos hexaéder (`hex8n`)	2×2×2 Gauss–Legendre	8
20 csomópontos hexaéder (`hex20n`)	3×3×3 Gauss–Legendre	27
4 csomópontos négyszög (`quad4n`)	2×2 Gauss–Legendre	4
8 csomópontos négyszög (`quad8n`)	3×3 Gauss–Legendre	9
3 csomópontos háromszög (`tri3n`)	1 pontos szabály	1
6 csomópontos háromszög (`tri6n`)	3 pontos szabály	3

Hexaéder-, négyszög- és vonalelemeknél az egyes koordinátairányok Gauss–Legendre-szabályának tenzorszorzatát használjuk. Háromszögek, tetraéderek és háromszögprizmák a szimplex jellegű geometriákhoz illeszkedő külön szabályokat használnak (olyan pontrendezéseket, amelyek magán a háromszögön a polinomokat pontosan integrálják).

Alkalmazás elemintegrálásra¶

Elemintegrálásban a természetes koordinátákat \(\boldsymbol{r}\) használjuk a referenciatartomány koordinátáiként (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), a fizikai koordinátákra történő leképezést pedig az alakfüggvényekkel végzett csomópontikoordináta-interpoláció adja. A referencia-konfiguráció megválasztásától (A növekményes elemzés keretrendszere) függően a következő megfogalmazásokat használjuk.

Teljes Lagrange-módszer (integrálás az \(\Omega^e_0\) referencia-konfiguráció fölött): a leképezés és a Jacobi-determináns

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

az elemi belső erőt és merevségi mátrixot pedig a következőképpen közelítjük:

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

A \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) mindegyikét a \(\boldsymbol{r}_i\) integrációs pontban értékeljük ki.

Frissített Lagrange-módszer (integrálás az \(\Omega^e\) aktuális konfiguráció fölött): a leképezés és a Jacobi-determináns

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

és közelítésként

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

használatos.

A két megfogalmazás között az egyetlen különbség az, hogy a leképezéshez megadott csomóponti koordináták \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) vagy \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); az integrációs pontok, a súlyok és az integrációspont-ciklus szerkezete közös.

Teljes és redukált integrálás¶

Azt az integrálást, amely elegendő számú integrációs pontot használ az integrandus polinomfokának pontos integrálásához, teljes integrálásnak, az eggyel alacsonyabb szintű integrációspont-számot használó integrálást pedig redukált integrálásnak nevezzük. A redukált integrálást a nyírási és térfogati locking enyhítésére használják, ugyanakkor az olyan ál-alakváltozási módusok kezelése szükséges, mint az hourglass módusok. Az egyes elemtípusok integrációspont-számát, valamint a teljes és redukált integrálás közötti választást az Elemszámozási rendszer és alakfüggvénykönyvtár és az azt követő szakaszok, továbbá a Fejlett elemmegfogalmazások fejezet tárgyalja.

Kapcsolódó témák¶

Az alakfüggvények térbeli deriváltjai — A Jacobi-mátrix számítása
A belső virtuális munka diszkretizálása — Numerikus integrálással kiértékelt mennyiségek
Fejlett elemmegfogalmazások — A redukált integrálás használata