Nemlineáris iteráció és időintegrálás

A FrontISTR minden egyes lépés növekményvezérlésén belül, minden részlépésben a nemlineáris iteráció és az időintegrálás kombinációjával viszi előre a megoldást. Ez az oldal a külső lépésvezérlés és a belső lineáris megoldó között elhelyezkedő iterációs szerkezeteket ismerteti: a Newton–Raphson-iterációt, az érintkezési iterációt, a dinamikai analízis időintegrálását, valamint a nemállandósult hővezetés időbeli előrehaladásának és nemlineáris iterációjának keretrendszerét.

Áttekintés

A lépésen belüli nemlineáris megoldás és időintegrálás egymásba ágyazott, kívülről befelé haladó több ciklusból áll. Az egyes rétegek szerepe a következő.

Réteg	Szerep	Fő hivatkozási oldal
Lépésciklus	A teljes analízist több lépésre osztja, és váltja a peremfeltételeket, terheléseket, érintkezést és elemek aktiválását.	Lépésvezérlés
Részlépésciklus	Egy lépést időnövekményekre oszt, és rögzített vagy automatikus növekményekkel, illetve cutback alkalmazásával halad előre.	Lépésvezérlés
Az időintegrálási állapot előrevitele	Dinamikai analízisnél és nemállandósult hővezetésnél az előző lépés állapotából meghatározza a következő időpont állapotát.	Ez az oldal
Érintkezésiállapot-keresési ciklus	Érintkezési analízisnél megkeresi az érintkezési állapot változásait (érintkezés/szétválás), és frissíti a merevségi mátrix szerkezetét.	Ez az oldal
Augmentált Lagrange-féle külső iteráció	ALAGRANGE érintkezés esetén fokozatosan javítja az érintkezési kényszer pontosságát.	Ez az oldal
Newton-iteráció	A nemlineáris egyensúlyi egyenleteket Newton–Raphson-módszerrel iteratívan oldja meg.	Ez az oldal
Lineáris egyenletrendszer megoldása	Minden Newton-iterációban megoldja az érintőmerevségi mátrixon alapuló lineáris egyenletrendszert.	Megoldó és előkondicionálás

Az analízis típusától függ, hogy ezek közül mely rétegek jelennek meg.

Analízistípus	Időintegrálás	Érintkezésiállapot-keresés	Külső iteráció	Newton-iteráció
Lineáris statikus analízis	—	—	—	—
Nemlineáris statikus analízis (érintkezés nélkül)	—	—	—	Igen
Nemlineáris statikus analízis (SLAGRANGE érintkezéssel)	—	Igen	—	Igen
Nemlineáris statikus analízis (ALAGRANGE érintkezéssel)	—	Igen	Igen	Igen
Dinamikai analízis, implicit	Newmark-β	—	—	Igen (nemlineáris esetben)
Dinamikai analízis, explicit	Központi differencia	—	—	—
Frekvenciaválasz-analízis	Módusszuperpozíció	—	—	—
Nemállandósult hővezetés	Crank–Nicolson / visszalépő Euler	—	—	Igen (ha az anyagtulajdonságok hőmérsékletfüggők)
Állandósult hővezetés	—	—	—	Igen (ha az anyagtulajdonságok hőmérsékletfüggők)

Az érintkezési típus és maga az algoritmus kiválasztásáról lásd az Érintkezés és beágyazás oldalt. Ez az oldal azt ismerteti, hogyan szerveződik a kiválasztott algoritmus iterációs ciklussá.

A megoldási séma kiválasztása

Az iterációs szerkezet automatikusan meghatározódik a kiválasztott analízistípus (Analízistípusok), a nemlinearitás megléte vagy hiánya (geometriai nemlinearitás, anyagi nemlinearitás vagy érintkezés), valamint az érintkezési algoritmus (SLAGRANGE vagy ALAGRANGE) alapján. A felhasználó közvetlenül az iterációszám felső korlátait és a konvergenciakritériumokat állítja.

E beállítások hangolásakor az alábbi irányelvek alkalmazhatók.

• Standard analíziseknél az iterációk számának alapértelmezett felső korlátja általában elegendő. Ha egy nehezen konvergáló feladat konvergencia nélkül eléri a maximális iterációszámot, először alkalmazzon cutback-et (Lépésvezérlés); a felső korlátot csak akkor növelje, ha ez nem javítja a konvergenciát.
• A konvergenciakritériumokat az analízis stabilitása és a számítási idő közötti egyensúly figyelembevételével állítsa. A szigorúbb kritériumok javítják az egyensúly pontosságát, de növelik az iterációk számát. Érintkezési analízisben és Lagrange-multiplikátort tartalmazó analízisben az elmozdulásnövekmény- vagy Lagrange-kritérium és a reziduumkritérium együttes alkalmazása javíthatja a stabilitást.
• A dinamikai analízis időintegrálási paramétereinél (a Newmark-β együtthatóknál) induljon standard értékkombinációból, és akkor módosítsa őket, ha a rezgésválasz numerikus csillapítási jellemzőit kívánja megváltoztatni.
• A nemállandósult hővezetés időintegrálási sémájához sima hőmérséklet-változású feladatoknál a Crank–Nicolson-módszert, éles változások vagy a hosszú idejű stabilitás nagyobb fontossága esetén pedig a visszalépő Euler-módszert használja.

Newton–Raphson-iteráció statikus analízisben

Nemlineáris statikus analízisben a geometriai vagy anyagi nemlinearitást tartalmazó egyensúlyi egyenleteket Newton–Raphson-módszerrel iteratívan oldjuk meg. Minden iteráció a következőképpen halad.

1. Értékelje a \(\boldsymbol{R}\) reziduumvektort az aktuális megoldásnál.
2. Állítsa össze a \(\boldsymbol{K}_T\) érintőmerevségi mátrixot.
3. Oldja meg a \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) lineáris egyenletrendszert, és határozza meg a \(\Delta \boldsymbol{u}\) elmozduláskorrekciót.
4. Frissítse a megoldást: \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Hasonlítsa össze a konvergenciakritériumokkal. Ha elérte a konvergenciát, fejezze be az iterációt; ellenkező esetben térjen vissza az 1. lépéshez.

A lineáris megoldó végzi a lineáris egyenletrendszer megoldását (3. lépés). A megoldó és az előkondicionáló kiválasztásáról lásd a Megoldó és előkondicionálás oldalt.

Az iteráció vezérlése a !STEP lépésvezérlési paramétereivel történik. A fő vezérlőértékek a következők.

Szerep	Paraméter
Az iterációszám felső korlátja. Ha a korlátot konvergencia nélkül eléri, a részlépésre cutback alkalmazandó.	MAXITER
A relatív reziduumnormán alapuló konvergenciakritérium.	CONVERG
Az elmozduláskorrekció normaarányán alapuló konvergenciakritérium. A stabilitás javítása érdekében a reziduumkritériummal együtt használható.	CONVERG_DDISP
A reziduumnorma divergenciakritériuma. Az iteráció megszakad, ha ezt az értéket túllépi.	MAXRES

A Lépésvezérlés automatikus növekmény- és cutback-döntéseiben hivatkozott maximális Newton-iterációszám az ezen az oldalon leírt Newton-iterációk számát jelenti. Az automatikus növekményvezérlés növeli az időnövekményt egy kevés iterációval konvergált részlépés után, és csökkenti azt egy sok iterációt igénylő részlépés után.

Érintkezési iteráció statikus analízisben

Érintkezési analízisben az érintkező felületeken kialakuló érintkezés, szétválás és csúszás miatt az érintkezési állapot az iteráció során változik, ezért a Newton-iteráció érintkezésiállapot-frissítéssel kombinálódik. A szerkezet az érintkezési megoldási algoritmustól függ.

Mindkét algoritmus a legkülső szinten érintkezésiállapot-keresési ciklust helyez el. A ciklus minden lefutásakor, a belső Newton-iteráció konvergenciája után újraértékeli az érintkezési állapotot (érintkezés/szétválás). Ha az állapot megváltozott, frissül a merevségi mátrix szerkezete, és a belső iteráció újra lefut. A ciklus akkor ér véget, amikor az érintkezési állapot az előző lefutáshoz képest változatlan, és az érintkezési konvergenciakritériumok (érintkezési erő és Lagrange-multiplikátor kritériuma) teljesülnek. A lefutások számának felső korlátját a !STEP MAXCONTITER paramétere adja meg.

SLAGRANGE érintkezés esetén az érintkezési szabadságfokok a standard Lagrange-multiplikátoros módszerrel kerülnek be a lineáris egyenletrendszerbe, így kétrétegű szerkezet jön létre, amelyben a Newton-iteráció közvetlenül az érintkezésiállapot-keresési ciklus belsejében található. Augmentált Lagrange-iteráció nincs.

ALAGRANGE érintkezés esetén az érintkezésiállapot-keresési ciklus belsejében augmentált Lagrange-iteráció jelenik meg, azon belül pedig Newton-iteráció történik, így háromrétegű szerkezet alakul ki. Minden augmentált Lagrange-iterációban a büntetési tag és a Lagrange-multiplikátor kombinációjával újraértékeljük az érintkezési kényszert, fokozatosan javítva a kényszer pontosságát. Az augmentált Lagrange-iterációk számának felső korlátját a !CONTACT_ALGO AUGITER paramétere adja meg.

Az érintkezési iteráció vezérlőértékei a következők.

Szerep	Megadás helye
Az érintkezésiállapot-keresési ciklus iterációszámának felső korlátja. SLAGRANGE és ALAGRANGE esetén egyaránt használatos.	!STEP MAXCONTITER
Az augmentált Lagrange-iterációk számának felső korlátja. Csak ALAGRANGE esetén használatos.	!CONTACT_ALGO AUGITER
A Lagrange-multiplikátor korrekciójának konvergenciakritériuma. Érintkezést tartalmazó analízisben a reziduumkritériummal együtt használatos.	!STEP CONVERG_LAG

A Lépésvezérlés automatikus növekménydöntéseiben hivatkozott érintkezési iterációszám az ezen az oldalon leírt, érintkezésiállapot-frissítéseket is magában foglaló iterációk számát jelenti. Azok az analízisek, amelyekben gyakran történik érintkezés és szétválás, több érintkezési iterációt igényelhetnek, ami az automatikus növekmény- és cutback-döntéseket is befolyásolja. Magukról az érintkezési típusokról, párdefiníciókról és az algoritmus kiválasztásáról lásd az Érintkezés és beágyazás oldalt. Az érintkezési szabadságfokokat tartalmazó lineáris egyenletrendszer megoldásáról lásd a Megoldó és előkondicionálás oldalt.

Időintegrálás dinamikai analízisben (implicit módszer)

Az implicit dinamikai analízis a Newmark-β módszert használja arra, hogy minden időlépésben összekapcsolja a következő időpont elmozdulását, sebességét és gyorsulását, majd ezeket az összefüggéseket a mozgásegyenlettel kombinálva meghatározza a \(t + \Delta t\) időpont állapotát. A \(\Delta t\) időlépés stabilitási korlátozása enyhe, így az alacsony frekvenciájú komponensek által dominált szerkezeti válaszok hatékonyan megoldhatók.

A következő két időintegrálási paraméter használatos.

Paraméter	Szerep
\(\beta\)	Az elmozdulás időbeli interpolációjához kapcsolódó együttható.
\(\gamma\)	A sebesség időbeli interpolációjához kapcsolódó együttható.

A \(\beta = 1/4\) és \(\gamma = 1/2\) kombinációt átlagos gyorsulási módszernek nevezzük; ez standard választás, feltétel nélkül stabil, és nincs numerikus csillapítása. Numerikus csillapítás bevezetéséhez \(\gamma\) értékét válassza \(1/2\)-nél nagyobbra. A paraméterkombinációk, a stabilitás és a hibajellemzők matematikai részleteit lásd az elméleti kézikönyvben.

Nemlinearitás (geometriai nemlinearitás, anyagi nemlinearitás vagy érintkezés) esetén minden időlépésen belül Newton-iteráció történik; az iterációban megoldjuk a lineáris egyenletrendszert és frissítjük az állapotot. A konvergenciakritériumok a statikus analízissel közös CONVERG és kapcsolódó értékeket használják. Érintkezést tartalmazó dinamikai analízisben a Statikus analízis érintkezési iterációja szerinti iterációs szerkezet épül be minden időlépésbe.

A dinamikai analízis időlépését elsődlegesen a !STEP időfeltételei vezérlik. Rögzített növekményeknél a !STEP az időlépést DTIME, a lépés időtartamát ETIME értékkel adja meg. A !DYNAMIC n_step és t_delta értékeit a rendszer alapértelmezésként kezeli, ha a !STEP hiányzik, illetve a visszamenőleges kompatibilitás érdekében. A nemlineáris implicit módszerben a !STEP INC_TYPE=AUTO beállítása engedélyezi az automatikus növekményt és a cutback-et, a Newton- és érintkezési iterációk állapota alapján növelve vagy csökkentve az időlépést. Akár rögzített, akár automatikus növekményt használ, az időlépést a konvergencia és a szükséges pontosság együttes figyelembevételével állítsa be.

Időintegrálás dinamikai analízisben (explicit módszer)

Az explicit dinamikai analízis a központi differencia módszerrel közvetlenül az előző időpont elmozdulás-, sebesség- és gyorsulásadataiból számítja ki a következő időpont állapotát. Mivel nem old meg egyidejű egyenletrendszert, az egy lépésre jutó számítási költség alacsony. Nemlinearitás esetén is minden időlépés egyetlen frissítési szakaszból áll, Newton-iteráció nélkül.

Az időlépésnek a rendszer minimális sajátperiódusán alapuló stabilitási feltétel (CFL-feltétel) szab felső korlátot. E korlátot meghaladó időlépés a numerikus megoldás divergenciáját okozza, ezért nem használhatók olyan nagy időlépések, mint az implicit módszernél. Az explicit módszer előnyös olyan jelenségeknél, mint az ütközés, hullámterjedés és nagy sebességű érintkezés, ahol eleve kis időlépések szükségesek.

Érintkezés esetén a Forward Increment Lagrange-módszer írja elő az érintkezési kényszereket. Az érintkezési erők kiértékelése az explicit módszer egylépcsős frissítésével összhangban történik.

A frekvenciaválasz-analízis megoldási módszere

A frekvenciaválasz-analízis a módusszuperpozíció módszerével közvetlenül a frekvenciatartományban határozza meg a periodikus állandósult választ. A gerjesztési frekvencia változtatása mellett értékeli a választ, és nincs szükség időtörténet iterációkon keresztüli követésére. Sem nemlineáris iteráció, sem időintegrálás nem történik.

A frekvenciaválasz-analízis előtt ugyanarra a rendszerre modálanalízist kell végezni, és ki kell nyerni a szükséges számú sajátmódust. Csak lineáris modellek támogatottak; geometriai vagy anyagi nemlinearitás engedélyezése esetén az analízis nem hajtható végre. Ennek az analízistípusnak a helyét lásd az Analízistípusok oldalon.

Időbeli előrehaladás és nemlineáris iteráció nemállandósult hővezetésben

A nemállandósult hővezetés saját időciklussal rendelkezik, amely a !HEAT keretében fejeződik be. Az időlépést a szerkezeti analízis !STEP és !AUTOINC_PARAM útvonalától elkülönülő mechanizmus vezérli, és ha az anyagtulajdonságok hőmérsékletfüggők, minden időlépésben nemlineáris iteráció történik.

Az időintegrálási sémát a !HEAT \(\beta\) paramétere választja ki.

\(\beta\)	Séma	Jellemzők
0.5	Crank–Nicolson-módszer	Másodrendű pontosság. Sima hőmérséklet-változású feladatokhoz alkalmas.
1.0	Visszalépő Euler-módszer	Elsőrendű pontosság. Feltétel nélkül stabil, és stabilitást biztosít hosszú időtartamú analíziseknél és éles hőmérséklet-változásoknál.

Az időlépést az alapértelmezett kezdeti időlépés, a minimális időlépés és a lépésenkénti maximális hőmérséklet-változás kombinációja adaptívan vezérli. Ha egy időlépés számítása után a hőmérséklet-változás meghaladja a DELTMX értéket, az időlépés csökken, és a lépés újraszámításra kerül. Az analízis megszakad, ha az időlépés a minimális DTMIN időlépés alá esik.

Ha az anyagtulajdonságok hőmérsékletfüggők, minden időlépésben nemlineáris iteráció történik. Az iteráció vezérlése a következő.

Szerep	Paraméter
A nemlineáris iterációk számának felső korlátja.	!HEAT ITMAX
Konvergenciakritérium.	!HEAT EPS

Az állandósult hővezetés nem használ időléptetést; csak akkor történik nemlineáris iteráció, ha az anyagtulajdonságok hőmérsékletfüggők. Mivel a hővezetési analízis idővezérlése független a szerkezeti analízis !STEP beállításától, az időlépés módosításakor ellenőrizze a !HEAT beállításait.

Kapcsolódó témák

• Analízistípusok — Az egyes analízistípusok elhelyezése.
• Érintkezés és beágyazás — Érintkezési típusok, párdefiníciók és megoldási algoritmusok kiválasztása.
• Megoldó és előkondicionálás — A Newton-iteráción belül meghívott lineáris egyenletrendszerek megoldása.
• Lépésvezérlés — Külső lépés-/részlépésvezérlés és automatikus növekmény/cutback.
• Newton–Raphson-módszer (elmélet) — Az iteratív megoldási módszer megfogalmazása.
• Konvergenciakritériumok (elmélet) — A konvergenciajelzők matematikai definíciói.
• Dinamikai analízis módszerei (elmélet) — A Newmark-β és a központi differencia módszer megfogalmazása.
• Nemállandósult hővezetési analízis (elmélet) — A hővezetés időintegrálásának megfogalmazása.
• Érintkezési analízis (elmélet) — A Lagrange-multiplikátoros módszer megfogalmazása.
• Kulcsszó-referencia: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.