Kihagyás

A belső virtuális munka diszkretizálása

A Növekményes elemzés keretrendszere fejezetben bemutatott, \(t + \Delta t\) időpontbeli virtuális munka egyenlete a referencia-konfiguráció megválasztásától függően két alakot vesz fel: a frissített Lagrange- és a teljes Lagrange-megfogalmazást. Ebben a fejezetben az Alakfüggvények és végeselemes közelítés, valamint az Alakfüggvények térbeli deriváltjai fejezetekben bevezetett végeselemes közelítést használjuk mindkét megfogalmazás belső virtuális munkájának térbeli diszkretizálására, és meghatározzuk a \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) és \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL) elemi belsőerő-vektorokat.

Az \(e\) elem alkotó csomópontjai legyenek \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); az elmozdulások \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), az elemi csomóponti elmozdulásvektort pedig \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) alakban rendezzük. A \(\delta \boldsymbol{u}^e\) virtuális elmozdulást ugyanebben a sorrendben definiáljuk. Az elemen belüli elmozdulást az alakfüggvényekkel interpoláljuk: \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Belső virtuális munka a frissített Lagrange-megfogalmazásban

A frissített Lagrange-megfogalmazásban a \(t\) időpontbeli aktuális konfigurációt \({}^{t}\Omega\) használjuk referencia-konfigurációként, a belső virtuális munkát pedig a \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy-feszültség és az \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi-alakváltozás lineáris része segítségével írjuk fel:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

A \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) minden komponense az aktuális konfiguráció \(\boldsymbol{x}\) koordinátáival kifejezhető az \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) alakfüggvény-deriváltak és a \(\delta u^e_{i\alpha}\) csomóponti virtuális elmozdulások lineáris kombinációjaként. Voigt-jelölésben ez a következő alakba rendezhető:

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

A \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) csomóponti blokk az \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) deriváltak Voigt-konvenció szerinti \(6 \times 3\) mátrixba rendezésével áll elő, a \(\boldsymbol{B}_L\) pedig az UL-megfogalmazás alakváltozás–elmozdulás mátrixa. Ezt a belső virtuális munkába behelyettesítve, majd a \(\delta \boldsymbol{u}^e\) tényezőt kiemelve:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

A \(\boldsymbol{q}^e\) esetében a \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) csomóponti blokk az \(\Omega^e\) elemnek az \(\alpha\) alkotó csomópontra ható belső ereje.

Belső virtuális munka a teljes Lagrange-megfogalmazásban

A teljes Lagrange-megfogalmazásban az \(\Omega_0\) kezdeti konfigurációt használjuk referencia-konfigurációként, a belső virtuális munkát pedig a \(\boldsymbol{S}\) második Piola–Kirchhoff-feszültség és a \(\boldsymbol{E}\) Green–Lagrange-alakváltozás segítségével írjuk fel:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

A \(\delta \boldsymbol{E}\) variációt egy, a virtuális elmozdulásban lineáris tagra és egy, az aktuális \(\partial u_k/\partial X_j\) elmozdulásgradienssel vett szorzatokat tartalmazó nemlineáris tagra bontjuk:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

A lineáris tag úgy írható fel, hogy az UL-megfogalmazásban alkalmazott rendezési szabályt az \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) deriváltakra alkalmazzuk, így kapva a \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) csomóponti blokkot:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Az eltérő referencia-konfiguráció miatt csak az alkotó deriváltak változnak \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) alakból \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) alakba; ugyanazt a jelölést használjuk, mint az UL-megfogalmazásban. A nemlineáris tag az aktuális \(\partial u_k/\partial X_j\) elmozdulásgradiens és az \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) szorzatait használja, amelyeket a Voigt-konvenciónak megfelelően rendezünk a \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) csomóponti blokk kialakításához:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Így \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), és \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) a TL-megfogalmazás alakváltozás–elmozdulás mátrixa. Ezt a belső virtuális munkába behelyettesítve:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

A \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) csomóponti blokk az \(\Omega^e_0\) elemnek az \(\alpha\) alkotó csomópontra ható belső ereje.

Az UL/TL megfeleltetése és a számítási folyamat

A frissített Lagrange- és a teljes Lagrange-megfogalmazás elemi belsőerő-vektorai a következőképpen feleltethetők meg egymásnak.

Tétel Frissített Lagrange-megfogalmazás Teljes Lagrange-megfogalmazás
Referencia-konfiguráció Aktuális konfiguráció \({}^{t}\Omega^e\) Kezdeti konfiguráció \(\Omega^e_0\)
Feszültségtenzor Cauchy-feszültség \(\boldsymbol{\sigma}\) Második PK-feszültség \(\boldsymbol{S}\)
Alakváltozás variációja \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B mátrix \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Elemi belső erő \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Mindkettőt ugyanaz az eljárás kezeli: az alakfüggvények térbeli deriváltjaiból felépítjük a \(\boldsymbol{B}_L\) mátrixot; TL-megfogalmazásban az aktuális elmozdulásgradiensből felépítjük és hozzáadjuk a \(\boldsymbol{B}_{NL}\) mátrixot; a konstitutív törvénynek megfelelően frissítjük a feszültséget (\(\boldsymbol{\sigma}\) vagy \(\boldsymbol{S}\)); majd az integrációs pontokon numerikusan integráljuk a \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\), illetve \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) kifejezést az elem tartományán (Numerikus integrálás). A referencia-konfiguráció váltásától (csomóponti koordináták és a \(\boldsymbol{B}\) mátrix felépítése), valamint a feszültségtenzor cseréjétől eltekintve a feldolgozás közös, ezért a FrontISTR mindkét megfogalmazás belsőerő-számítását közös szubrutinokkal valósítja meg. A \(\boldsymbol{q}^e\) és \(\boldsymbol{Q}^e\) elemi belsőerő-vektorok globális belsőerő-vektorba történő összeállítását a Külső virtuális munka és a globális egyenletek összeállítása fejezet tárgyalja.

Kapcsolódó témák

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status