A növekményes elemzés keretrendszere

A növekményes elemzés szükségessége

Amint fentebb leírtuk, kis alakváltozású problémák elemzésénél a végeselemes elemzés elvégezhető az egyensúlyi egyenletekkel és más alapegyenletekkel ekvivalens virtuális munka elvének felhasználásával, majd ennek az egyenletnek végeselemekkel történő diszkretizálásával. Ugyanezt az alapvető virtuálismunka-elvet használjuk a szerkezetek nagy alakváltozásával járó véges alakváltozási problémák elemzésében is.

Véges alakváltozási problémákban azonban még lineáris anyagviselkedés feltételezése mellett is nemlineárissá válik a virtuális munka elvének egyenlete az elmozdulásra nézve. A nemlineáris egyenletek megoldásához általában iteratív módszerrel végzett iterációs számítást alkalmazunk.

Ezekben az iterációs számításokban növekményes elemzési módszert használunk: a számítást kis terhelésnövekményekre bontva, szakaszonként végezzük el, és a növekményeket addig halmozzuk, amíg el nem érjük a végső alakváltozott állapotot. Kis alakváltozású probléma feltételezésekor az alakváltozás és a feszültség definiálásakor nem teszünk különösebb különbséget az alakváltozás előtti és utáni konfiguráció között. Vagyis a kis alakváltozás feltételezése mellett nincs jelentősége annak, hogy az alapegyenletek leírásához az alakváltozás előtti vagy utáni konfigurációt használjuk.

Véges alakváltozási probléma növekményes elemzésekor a megfogalmazás attól függően különbözik, hogy referencia-konfigurációként a kezdeti konfigurációt vagy a növekmény kezdetén fennálló konfigurációt választjuk. Az előbbit teljes Lagrange-módszernek, az utóbbit frissített Lagrange-módszernek nevezzük. A részletekhez lásd a fejezet végén felsorolt hivatkozásokat és a kapcsolódó anyagokat.

Kiinduló egyenlet: a virtuális munka elve \(t'\) időpontban

Tekintsünk olyan növekményes elemzést, amelyben a \(t\) időpontig fennálló állapot ismert, a \(t' = t + \Delta t\) időpontbeli állapot pedig ismeretlen (lásd a 2.2.1. ábrát). A \(t'\) időpontbeli egyensúlyi egyenleteket, peremfeltételeket és a virtuális munka elvét (az aktuális konfigurációban, a \(^{t'}\sigma\) Cauchy-feszültséggel és a \(^{t'} A_{(L)}\) Almansi-alakváltozás lineáris részével kifejezve) A virtuális munka elve fejezet adja meg.

2.2.1. ábra A növekményes elemzés fogalma

Mivel azonban ez a kiinduló egyenlet a \(t'\) időpontbeli (ismeretlen) konfigurációban van felírva, a tényleges megoldási eljárás referencia-konfigurációként vagy a \(0\) időpontbeli kezdeti \(V\) konfigurációt, vagy a \(t\) időpontbeli aktuális \(^{t'} v\) konfigurációt választja, az egyenletet növekményes alakra írja át, majd megoldja:

• Teljes Lagrange-módszer — A kezdeti \(V\) konfigurációt használja referenciaként. A második PK-feszültséget \(\boldsymbol{S}\) és a Green–Lagrange-alakváltozást \(\boldsymbol{E}\) használja.
• Frissített Lagrange-módszer — A növekmény kezdetén fennálló aktuális \(^{t}v\) konfigurációt használja referenciaként. A Cauchy-feszültséget \(\boldsymbol{\sigma}\) és az Almansi-alakváltozás lineáris részét \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) használja.

Mindkét megfogalmazás térbeli diszkretizálásához (B mátrix és belsőerő-vektor) lásd A belső virtuális munka diszkretizálása; a linearizáláshoz és az érintőmerevség felépítéséhez lásd Érintőmerevségi mátrix.

Kapcsolódó témák

• A virtuális munka elve — Fő kiinduló egyenlet (gyenge alak az aktuális és a kezdeti konfigurációban)
• A belső virtuális munka diszkretizálása — B mátrixok és belsőerő-vektorok TL/UL esetén
• Érintőmerevségi mátrix — Linearizálással kapott \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\)
• Newton–Raphson-módszer — Iteratív algoritmus