Ga naar inhoud

Raamwerk voor incrementele analyse

Noodzaak van incrementele analyse

Zoals hierboven beschreven kan bij de analyse van problemen met kleine vervormingen eindige-elementenanalyse worden uitgevoerd door het principe van virtuele arbeid, dat equivalent is aan de fundamentele vergelijkingen zoals de evenwichtsvergelijkingen, te gebruiken en deze vergelijking met eindige elementen te discretiseren. Hetzelfde basisprincipe van virtuele arbeid wordt ook gebruikt bij de analyse van problemen met eindige vervormingen waarbij constructies grote vervormingen ondergaan.

Bij problemen met eindige vervormingen wordt de vergelijking van het principe van virtuele arbeid echter niet-lineair ten opzichte van de verplaatsing, zelfs wanneer materiaallineariteit wordt verondersteld. Om niet-lineaire vergelijkingen op te lossen worden doorgaans iteratieve berekeningen met een iteratieve methode uitgevoerd.

In deze iteratieve berekeningen wordt een incrementele analysemethode gebruikt waarbij de berekening stapsgewijs voor kleine belastingsincrementen wordt uitgevoerd en de incrementen worden opgeteld totdat de uiteindelijke vervormde toestand is bereikt. Wanneer een probleem met kleine vervormingen wordt aangenomen, wordt bij het definiëren van rek en spanning geen bijzonder onderscheid gemaakt tussen de configuraties vóór en na vervorming. Dat wil zeggen: onder de aanname van kleine vervormingen maakt het niet uit of de configuratie die wordt gebruikt om de fundamentele vergelijkingen te beschrijven de configuratie vóór of na vervorming is.

Wanneer voor een probleem met eindige vervormingen incrementele analyse wordt uitgevoerd, verschilt de formulering afhankelijk van de keuze van de initiële configuratie of de configuratie aan het begin van het increment als referentieconfiguratie. De eerste wordt de Total Lagrange-methode genoemd en de tweede de Updated Lagrange-methode. Raadpleeg voor details de referenties aan het einde van het hoofdstuk en de gerelateerde documentatie.

Beginvergelijking: principe van virtuele arbeid op tijdstip \(t'\)

Beschouw een incrementele analyse waarin de toestand tot tijdstip \(t\) bekend is en de toestand op tijdstip \(t' = t + \Delta t\) onbekend is (zie figuur 2.2.1). De evenwichtsvergelijkingen, randvoorwaarden en het principe van virtuele arbeid op tijdstip \(t'\) (uitgedrukt in de huidige configuratie met de Cauchy-spanning \(^{t'}\sigma\) en het lineaire deel van de Almansi-rek \(^{t'} A_{(L)}\)) worden gegeven in Principe van virtuele arbeid.

Concept van incrementele analyse

Figuur 2.2.1 Concept van incrementele analyse

Omdat deze beginvergelijking echter is geschreven in de (onbekende) configuratie op tijdstip \(t'\), kiest de feitelijke oplossingsprocedure de initiële configuratie \(V\) op tijdstip \(0\) of de huidige configuratie \(^{t'} v\) op tijdstip \(t\) als referentieconfiguratie, herschrijft de vergelijking in incrementele vorm en lost deze vervolgens op:

  • Total Lagrange-methode — Gebruikt de initiële configuratie \(V\) als referentie. De tweede PK-spanning \(\boldsymbol{S}\) en Green-Lagrange-rek \(\boldsymbol{E}\) worden gebruikt.
  • Updated Lagrange-methode — Gebruikt de huidige configuratie \(^{t}v\) aan het begin van het increment als referentie. De Cauchy-spanning \(\boldsymbol{\sigma}\) en het lineaire deel van de Almansi-rek \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) worden gebruikt.

Zie voor de ruimtelijke discretisatie van beide formuleringen (B-matrix en interne-krachtvector) Discretisatie van interne virtuele arbeid; zie voor linearisatie en de opbouw van de tangentstijfheid Tangentstijfheidsmatrix.

Gerelateerde onderwerpen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status