Kruip

Dit hoofdstuk beschrijft de kruipconstitutiewet die door FrontISTR wordt gebruikt. Zie voor details over selectie en invoerspecificaties het functiegedeelte 03_material.

Kruipverschijnsel en additieve rekdecompositie

Tijdsafhankelijke verplaatsing onder een toestand van constante spanning is een verschijnsel dat "kruip" wordt genoemd.

Het hierboven beschreven visco-elastische gedrag kan ook als een type lineair kruipverschijnsel worden beschouwd. Hier worden enkele niet-lineaire kruipgedragingen beschreven. Een gebruikelijke aanpak is de constitutieve relatie te formuleren door dit gedrag toe te voegen aan de rek die onmiddellijk optreedt, en de rek die zich ophoopt zolang een bepaalde constante belasting blijft werken te definiëren als de kruiprek \(\varepsilon^c\). Een constitutieve relatie met kruip wordt gewoonlijk uitgedrukt met de kruipreksnelheid \(\dot{\varepsilon}^c\), gedefinieerd als functie van de spanning en de totale kruiprek.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Als de rek die onmiddellijk optreedt de elastische rek \(\varepsilon^e\) is, wordt de totale rek uitgedrukt als de volgende som inclusief de kruiprek.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

waarbij

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) is de elasticiteitstensor).

Norton-wet

Als specifieke kruipconstitutiewet gebruikt FrontISTR het volgende Norton-model. In deze constitutieve wet wordt de equivalente kruipreksnelheid \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) als volgt uitgedrukt als functie van de von Mises-spanning \(q\) en de tijd \(t\).

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Hier zijn \(A\), \(m\) en \(n\) materiaalconstanten.

Tijdintegratie en spanningsupdate

Net als bij plastische materialen moet voor een constitutieve wet die kruip vertoont een numerieke tijdintegratiemethode worden gespecificeerd. De constitutieve relatie wanneer kruip wordt meegenomen is

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

waarbij \(\beta_{n+\theta}\) gelijk is aan

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Het kruiprekincrement \(\Delta \varepsilon^c\) wordt vervolgens gedefinieerd door de volgende vereenvoudigde niet-lineaire vergelijking:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

die gelijk aan nul wordt gesteld.

In de Newton-Raphson-iteratie, waarbij \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) als beginspanning wordt genomen en het met de eindige-elementenmethode verkregen rekincrement wordt gebruikt, worden de iteratieve oplossing en het increment gegeven door

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

waarbij

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

met Wanneer wordt geïtereerd totdat het residu \(R\) gelijk wordt aan \(\mathbf{0}\), worden de spanning \(\sigma_{n+1}\) en tangentmodulus

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

gebruikt.

Gerelateerde onderwerpen

• Visco-elasticiteit — Visco-elastisch gedrag dat overeenkomt met lineaire kruip
• Tangentstijfheidsmatrix — Tangentstijfheid voor incrementele analyse inclusief kruip
• Materiaalgegevens (functies) — Parameterspecificatie voor het Norton-model