Перейти до змісту

Повзучість

У цьому розділі описано визначальний закон повзучості, прийнятий у FrontISTR. Докладніше про вибір і специфікації введення див. у розділі функцій 03_material.

Явище повзучості та адитивний розклад деформації

Залежне від часу переміщення за умови сталого напруження називається «повзучістю».

Описану вище в'язкопружну поведінку також можна розглядати як різновид лінійної повзучості. Тут описано кілька видів нелінійної повзучої поведінки. Загальний підхід полягає у формулюванні визначального співвідношення шляхом додавання цієї поведінки до деформації, що виникає миттєво, та у визначенні деформації, накопиченої під час дії заданого сталого навантаження, як деформації повзучості \(\varepsilon^c\). Визначальне співвідношення з урахуванням повзучості зазвичай виражається через швидкість деформації повзучості \(\dot{\varepsilon}^c\), визначену як функція напруження та повної деформації повзучості.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Якщо деформація, що виникає миттєво, є пружною деформацією \(\varepsilon^e\), повна деформація виражається як така сума з деформацією повзучості.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

де

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) — тензор пружності).

Закон Нортона

Як конкретний визначальний закон повзучості FrontISTR використовує таку модель Нортона. У цьому визначальному законі еквівалентна швидкість деформації повзучості \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) виражається як функція напруження фон Мізеса \(q\) і часу \(t\):

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Тут \(A\), \(m\) і \(n\) — матеріальні константи.

Інтегрування за часом та оновлення напруження

Як і для пластичних матеріалів, для визначального закону, що описує повзучість, необхідно задати чисельний метод інтегрування за часом. Визначальне співвідношення з урахуванням повзучості має вигляд

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

де \(\beta_{n+\theta}\) дорівнює

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Тоді приріст деформації повзучості \(\Delta \varepsilon^c\) визначається таким спрощеним нелінійним рівнянням:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

яке прирівнюється до нуля.

В ітерації Ньютона–Рафсона, беручи \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) як початкове напруження та використовуючи приріст деформації, отриманий методом скінченних елементів, ітераційний розв'язок і приріст задаються як

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

де

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

і під час ітерування до того моменту, коли нев'язка \(R\) стане \(\mathbf{0}\), використовуються напруження \(\sigma_{n+1}\) і дотичний модуль

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

.

Пов'язані теми

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status