Пружнопластичність

У цьому розділі описано основу пружнопластичного конститутивного закону, прийнятого у FrontISTR. Докладніше про вибір і специфікації введення див. 03_material у розділі функцій.

Явище (пластична деформація)

TBD (буде написано на наступному етапі).

Структура конститутивного закону

FrontISTR використовує пружнопластичне конститутивне рівняння на основі асоційованого закону течії. Конститутивне рівняння виражає зв’язок між швидкістю Яуманна напруження Кірхгофа та тензором швидкості деформації, а для аналізу деформацій застосовується оновлене лагранжеве формулювання.

Припустімо, що умова текучості пружнопластичного матеріалу задається так.

Початкова умова текучості:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Наступна умова текучості:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

де

• \(F\): функція текучості
• \(\sigma_{y_0}\): початкове напруження текучості
• \(\sigma_y\): наступне напруження текучості
• \(\sigma\): тензор напружень
• \(e\): тензор малих деформацій
• \(e^p\): тензор пластичної деформації
• \(\overline{e}^p\): еквівалентна пластична деформація

Вважається, що залежність напруження текучості від еквівалентної пластичної деформації збігається із залежністю напруження від пластичної деформації в одноосьовому стані.

Залежність напруження від пластичної деформації в одноосьовому стані

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

де \(H'\) — модуль деформаційного зміцнення.

Залежність еквівалентного напруження від еквівалентної пластичної деформації

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Загалом наступна функція текучості є функцією температури та роботи пластичної деформації, але для спрощення тут вважається, що вона залежить лише від еквівалентної пластичної деформації \(\overline{e}^p\). Під час розвитку пластичної деформації умова \(F = 0\) має виконуватися безперервно, тому повинно виконуватися таке рівняння.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Тут \(\dot{F}\) позначає похідну \(F\) за часом. Надалі похідну за часом величини \(A\) позначатимемо як \(\dot{A}\).

Припустімо існування пластичного потенціалу \(\Theta\) і запишімо швидкість пластичної деформації таким рівнянням.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Тут \(\dot{\lambda}\) є коефіцієнтом.

Далі, припускаючи, що пластичний потенціал \(\Theta\) дорівнює функції текучості \(F\), використовуємо такий асоційований закон течії.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Підставивши це рівняння в умову узгодженості, одержуємо таке рівняння.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Тут \(D\) — матриця пружності, а

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Залежність напруження—деформація для пружнопластичного матеріалу можна записати так.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Якщо відома функція текучості \(F\) пружнопластичного матеріалу, з цього виразу отримується його конститутивне рівняння.

Функції текучості

Нижче наведено функції текучості для пружнопластичних матеріалів, що використовуються у FrontISTR.

Функція текучості фон Мізеса

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Тут \(J_2\) — другий інваріант девіаторного тензора напружень.

Функція текучості Мора—Кулона

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Тут \(\sigma_1, \sigma_3\) — відповідно максимальне та мінімальне головні напруження, \(c\) — зчеплення, а \(\phi\) — кут внутрішнього тертя.

Функція текучості Друкера—Прагера

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Тут матеріальні константи \(\alpha\) та \(\sigma_y\) обчислюються за зчепленням матеріалу й кутом тертя таким чином.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Пов’язані теми

• Лінійна пружність — Пружна відповідь (пружна частина пружнопластичності)
• Дотична матриця жорсткості — Дотична жорсткість для інкрементального аналізу з урахуванням нелінійності матеріалу
• Дані матеріалу (функції) — Варіанти та вибір функцій текучості й законів зміцнення