На цій сторінці наведено позначення фізичних величин, що використовуються в теоретичному посібнику FrontISTR.
Правила позначень (жирне накреслення для векторів і тензорів, правило підсумовування Ейнштейна та позначення Фойгта) див. у розділі
Тензорні позначення та математичні основи.
Вектор положення матеріальної точки у відліковій (початковій) конфігурації (матеріальні координати)
\(\boldsymbol{x}\)
Вектор положення матеріальної точки в поточній конфігурації (просторові координати)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\)
Відображення руху: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\)
Область, яку займає тіло у відліковій конфігурації
\(\Omega\)
Область, яку займає тіло в поточній конфігурації
\(\Gamma_0\)
Межа області \(\Omega_0\)
\(\Gamma\)
Межа області \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\)
Геометрична (за переміщенням) межа: межа в поточній/відліковій конфігурації, на якій задано \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\)
Механічна межа: межа в поточній/відліковій конфігурації, на якій задано \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (або \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\)
Зовнішній одиничний вектор нормалі до поверхні в поточній конфігурації
\(\boldsymbol{N}\)
Зовнішній одиничний вектор нормалі до поверхні у відліковій конфігурації
\(t\)
Час
Умова позначень: фізичні величини у відліковій конфігурації позначаються великими літерами або нижнім індексом \(0\), а величини в поточній конфігурації — малими літерами.
Фізична величина в момент часу \(t\) (лівий верхній індекс). Приклад: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) — напруження Коші в момент часу \(t\)
\(^{t}\Omega\)
Область поточної конфігурації в момент часу \(t\)
\(^{t}\Gamma\)
Межа поточної конфігурації в момент часу \(t\)
Умова позначень: в інкрементному аналізі стан до моменту часу \(t\) вважається відомим, а стан у момент \(t + \Delta t\) визначається як невідомий. Лівий верхній індекс опускається, якщо час не потрібно вказувати явно. Формулювання, що використовує відлікову конфігурацію \(\Omega_0\) як базову, називається формулюванням Total Lagrange, а формулювання, що використовує поточну конфігурацію \(^{t}\Omega\) на початку приросту як базову, — формулюванням Updated Lagrange.
Переміщення, швидкість, прискорення та об’ємна сила¶
Примітка: \(\nabla_X\) і \(\nabla_x\) пов’язані співвідношенням \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Градієнт без нижнього індексу, \(\nabla\), використовується, коли конфігурація зрозуміла з контексту або коли відмінність зникає, як у задачах малих деформацій.
Умова позначень: у формулюванні Total Lagrange використовується пара \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), а у формулюванні Updated Lagrange — пара \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Глобальні вектори вузлових координат і переміщень (упорядковані спочатку за номером вузла, потім за ступенем свободи)
\(\boldsymbol{B}\)
Матриця зв’язку деформацій і переміщень (B-матриця)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\)
Матриця функцій форми: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) — блок \(d \times d\) із функцією форми \(N_\alpha^e\) для вузла \(\alpha\) на діагоналі, а \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\)
Матриця жорсткості елемента
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\)
Підінтегральні вирази матриці жорсткості елемента (подані у відліковій та поточній конфігураціях): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
Вузлова зовнішня сила, що діє на вузол елемента \(\alpha\), і вектор зовнішніх сил у вузлах елемента: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)
Глобальний вектор внутрішніх сил і глобальний вектор зовнішніх сил: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); аналогічно для \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\)
Вузлова внутрішня сила та вузлова зовнішня сила в глобальному вузлі \(i_g\) (вузлові блоки \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\)
Глобальна матриця дотичної жорсткості: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Матриця, утворена розміщенням блока \(3\times 3\)\(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) у рядку \(i_g\), стовпці \(i_h\)
Поправка в ітерації Ньютона—Рафсона (отримується розв’язанням лінійного рівняння \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) на ітерації \(i\))
\(i_g\)
Номер глобального вузла (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\)
Номер глобального вузла, що відповідає локальному номеру вузла \(\alpha\) елемента \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\)
Множина пар \((e, \alpha)\), що відповідають номеру глобального вузла \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Використовується під час складання
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\)
Множина трійок \((e, \alpha, \beta)\), що відповідають парі номерів глобальних вузлів \((i_g, i_h)\); використовується для складання матриці жорсткості
Матриця зв’язку деформацій і переміщень з об’ємною частиною, модифікованою методом B-bar (об’ємна компонента замінюється B-матрицею, обчисленою в центрі елемента)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\)
Градієнт деформації з об’ємною частиною, модифікованою методом F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\)
Відношення об’ємів градієнта деформації, обчисленого в центрі елемента \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\)
Вектор внутрішніх ступенів свободи для елемента з несумісними модами (коефіцієнти додаткових мод переміщення, що не забезпечують неперервність на межі елемента)
\(M_k(\boldsymbol{r})\)
Функції форми для несумісних мод: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\)
Товщина оболонкового елемента
\(A\)
Площа поперечного перерізу балкового елемента
\(I\)
Другий момент площі поперечного перерізу балкового елемента