Контактний аналіз

Коли два тіла входять у контакт, через контактну поверхню передається контактна сила \(t_c\). Принцип віртуальних робіт переписується так.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}v}\,^{t'} \sigma : \delta^{t'} A_{(L)} d^{t'}v = \int^{t'}_{^{t'}S_{t}}\,^{t'} \overline{t} \cdot \delta u d^{t'}s+ \int^{t'}_{V} \overline{b} \cdot \delta u d^{t'}v + \int^{t'}_{^{t'} S _{c}}t_{c}[\delta u^{(1)} - u^{(2)}] \label{eq:2.2.70} \end{equation}\]

Тут \(S_c\) позначає область контакту, а \(u^{(1)}\) і \(u^{(2)}\) — переміщення контактних тіл 1 і 2 відповідно.

У контактному аналізі поверхні, які можуть увійти в контакт, задаються парою. Одна поверхня в парі визначається як головна, а інша — як підлегла. У цьому методі аналізу «головна–підлегла» умови контактного обмеження приймаються такими.

1. Підлеглий вузол не проникає крізь головну поверхню.
2. Коли контакт виникає, підлеглий вузол розташовується в точці контакту, а головна і підлегла поверхні передають одна одній контактну силу та силу тертя через цю точку контакту.

Дискретизація останнього члена рівняння \(\eqref{eq:2.2.70}\) методом скінченних елементів дає таке рівняння.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}S_{c}} t_c [\delta u^{(1)} - \delta u^{(2)}] \approx \delta UK_c \Delta U + \delta UF_c \label{eq:2.2.71} \end{equation}\]

Тут \(K_c\) і \(F_c\) позначають відповідно контактну матрицю жорсткості та контактну силу. Скінченно-елементні формулювання повного лагранжевого та оновленого лагранжевого методів з урахуванням контактних обмежень мають такий вигляд.

\[\begin{equation} \delta U^T ( ^t_0 K_L + ^t_0 K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_0^{t'} F} - \partial U^T {^t_0 Q} + \delta UF_c \label{eq:2.2.72} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta U^T (^t_t K_L + ^t_t K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_{t} ^{t'} F} - \partial U^T {^t_t Q}+ \delta UF_c \label{eq:2.2.73} \end{equation}\]

Пов'язані теми

• Дотична матриця жорсткості — Дотична жорсткість у нелінійному аналізі з урахуванням контакту
• Метод Ньютона–Рафсона — Ітераційний метод розв'язання
• Контактні та вбудовані елементи — Типи контакту та параметри алгоритму