Просторові похідні функцій форми

Функції форми \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), введені в розділі Функції форми та скінченно-елементна апроксимація, задаються як функції природних координат \(\boldsymbol{r}\), тобто локальних координат елемента. З іншого боку, через співвідношення деформація–переміщення підінтегральні вирази слабкої форми містять часткові похідні за фізичними координатами (опорною конфігурацією \(\boldsymbol{X}\) або поточною конфігурацією \(\boldsymbol{x}\)), тобто \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) або \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). У цьому розділі систематизовано процедуру обчислення цих просторових похідних функцій форми з координат вузлів елемента та похідних за природними координатами.

Вираження просторових похідних за правилом ланцюга

Застосування правила ланцюга до формули інтерполяції \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (попередній розділ) та використання матриці Якобі \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) відображення з природних координат у фізичні дає

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Тут \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) і \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) — матриці, у яких рядок \(\alpha\) представляє вектор часткових похідних для вузла \(\alpha\); кожна з них має розмір \(n_e \times 3\).

Побудова матриці Якобі

Диференціювання формули інтерполяції за \(\boldsymbol{r}\) дає

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Отже, матрицю Якобі можна побудувати безпосередньо з координат вузлів елемента \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) та похідних за природними координатами \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Похідні за природними координатами визначаються функціональною формою функцій форми й заздалегідь реалізовані для кожного типу елемента.

Визначник матриці Якобі \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) використовується в чисельному інтегруванні для перетворення елемента об'єму як \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Якщо визначник дорівнює \(0\), елемент є виродженим і обчислення завершується помилкою.

Обчислювальна послідовність

З наведеного вище виведення обчислення просторових похідних \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) можна поділити на такі чотири етапи.

1. Обчислення похідних за природними координатами: використовуючи як вхідні дані тип елемента та природні координати \(\boldsymbol{r}\) точки обчислення, обчислити матрицю похідних за природними координатами \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Оскільки функціональна форма функцій форми залежить від типу елемента, обробка розгалужується за типом елемента.
2. Обчислення матриці Якобі: з координат вузлів елемента \(\boldsymbol{X}^e\) і \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) скласти матрицю Якобі \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) за рівнянням попереднього розділу.
3. Обчислення оберненої матриці та визначника: обчислити обернену матрицю \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) і визначник матриці Якобі. Визначник використовується у ваговому множнику під час чисельного інтегрування.
4. Обчислення просторових похідних: з \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) і \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) отримати просторові похідні \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) як їх добуток.

Ці чотири етапи розгалужуються залежно від типу елемента та просторової розмірності (два або три виміри), але загальна послідовність є спільною.

Спільне опрацювання опорної та поточної конфігурацій

Описану вище процедуру можна також застосувати, просто замінивши \(\boldsymbol{X}^e\) поточними координатами вузлів \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), щоб отримати просторові похідні \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) у поточній конфігурації. Отже, одна й та сама процедура може використовуватися спільно для формулювань Total Lagrangian і Updated Lagrangian, якщо змінювати лише вхідні координати вузлів.

Пов'язані теми

• Функції форми та скінченно-елементна апроксимація — Визначення функцій форми та координат вузлів елемента
• Дискретизація внутрішньої віртуальної роботи — Побудова матриці B із просторових похідних
• Чисельне інтегрування — Використання визначника Якобі у квадратурі Гауса