Перейти до змісту

Лінійна пружність

У цьому розділі розглядається визначальний закон (закон Гука) для лінійно-пружних матеріалів. Докладніше про вибір моделі та специфікації введення див. у розділі функцій 03_material.

Явище (лінійна пружна відповідь)

Лінійно-пружне тіло — це матеріал, який у діапазоні достатньо малих деформацій під навантаженням має лінійну залежність між напруженням і деформацією та оборотну, незалежну від історії відповідь, за якої після розвантаження вся деформація повертається до початкового стану. На відміну від пластичності або повзучості, він не має внутрішніх змінних стану (наприклад, пластичної чи в’язкої деформації), а напруження однозначно визначається лише поточною деформацією.

У діапазоні малих деформацій використовуються напруження Коші \(\boldsymbol{\sigma}\) та нескінченно мала деформація \(\boldsymbol{\varepsilon}\); у діапазоні скінченних деформацій (задачі з великими поворотами, але малою власне деформацією) використовуються друге напруження Піоли–Кірхгофа \(\boldsymbol{S}\) та деформація Гріна–Лагранжа \(\boldsymbol{E}\) (матеріал Сен-Венана–Кірхгофа).

Визначальний закон

Ізотропний лінійно-пружний матеріал

У діапазоні малих деформацій ізотропний закон Гука виражається через константи Ламе \(\lambda, \mu\) так:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

У компонентній формі:

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

а подвійна згортка з деформацією дає \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Константи Ламе пов’язані з модулем Юнга \(E\) та коефіцієнтом Пуассона \(\nu\) так:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

У позначеннях Фойгта зв’язок між вектором деформації \(\hat{\varepsilon}\) і вектором напруження \(\hat{\sigma}\) записується як \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), а тривимірна матриця матеріалу \(D\) має вигляд

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Це матричне представлення використовується в реалізації.

Ортотропний лінійно-пружний матеріал

Для матеріалів, пружні константи яких залежать від напряму головних осей, використовується ортотропна модель із дев’ятьма незалежними константами: модулями Юнга в напрямах головних осей \(E_1, E_2, E_3\), коефіцієнтами Пуассона між головними осями \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) та модулями зсуву \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Явну форму матриці \(D\) див. у стандартній літературі.

Діапазон скінченних деформацій: матеріал Сен-Венана–Кірхгофа

Для задач із великими поворотами, але малою власне деформацією, матеріал Сен-Венана–Кірхгофа використовується як лінійно-пружний закон, що пов’язує друге напруження Піоли–Кірхгофа \(\boldsymbol{S}\) і деформацію Гріна–Лагранжа \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Визначення констант Ламе \(\lambda, \mu\) такі самі, як у випадку малих деформацій. Однак слід зауважити, що через інше визначення пари «напруження–деформація» це інший визначальний закон, ніж закон Гука для малих деформацій.

Гіпопружний матеріал

У методі Updated Lagrange використовується гіпопружний матеріал, для якого приймається лінійно-пружний закон між похідною Яумана відносного тензора напружень Кірхгофа \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) і тензором швидкості деформації \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Тут визначення \(\boldsymbol{C}\) через константи Ламе знову таке саме, як вище, але через іншу пару «напруження–деформація» це інший визначальний закон. Докладніше про оновлення \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) у процедурі інтегрування за часом (пряме інтегрування Ейлера та центрально-різницева апроксимація) див. tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Зведення для двовимірного аналізу та оболонкових елементів

Плоский напружений стан (\(\sigma_{33} = 0\))

Для плоского напруженого стану, що описує навантаження тонких пластин і оболонок, приймається \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), алгебраїчно виключається позаплощинна компонента деформації \(\varepsilon_{33}\) і використовується відповідна матриця \(D\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Плоский деформований стан (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Для плоского деформованого стану, що описує поперечний переріз довгої конструкції, обмеженої в напрямі товщини, приймається \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Осесиметричний випадок

В осесиметричному аналізі, що розглядає задачі в циліндричних координатах \((r, \theta, z)\), однорідні в напрямі \(\theta\), зберігаються чотири компоненти \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) та \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), і

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

отримуємо.

Оболонкові елементи (плоский напружений стан + поперечний зсув)

Для оболонкових елементів напруження в площині розглядається як плоский напружений стан, а для компонент поперечної деформації зсуву \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) вводиться коефіцієнт корекції зсуву \(\kappa\) (зазвичай \(\kappa = 5/6\)) і використовується \(\kappa\, G\). Докладне формулювання кожного елемента див. у розділі Розширені формулювання елементів. Твердження в розділі функцій 03_material, що «оболонкові елементи підтримують лише лінійну пружність», ґрунтується на цьому спрощенні, за якого стан у площині розглядається як плоский напружений стан.

Температурна залежність

Модуль Юнга \(E\), коефіцієнт Пуассона \(\nu\) та коефіцієнт лінійного розширення \(\alpha\) зазвичай задаються як функції температури \(T\). У FrontISTR значення вводяться для скінченної послідовності температурних точок \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), а значення за температури \(T\) під час обчислення визначається лінійною інтерполяцією між сусідніми точками. Для температур поза діапазоном (\(T < T_1\) або \(T > T_n\)) для екстраполяції використовується значення найближчої крайньої точки, \(T_1\) або \(T_n\) (стала екстраполяція).

Температурну залежність теплових і теплопровідних властивостей (густини, питомої теплоємності та теплопровідності) див. у розділі Теплові властивості. Правила інтерполяції для цих властивостей однакові.

Пов’язані теми

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status