Bỏ qua

Đàn hồi tuyến tính

Chương này trình bày quan hệ cấu thành (định luật Hooke) của vật liệu đàn hồi tuyến tính. Về cách lựa chọn và chi tiết chỉ định đầu vào, xem phần chức năng 03_material.

Hiện tượng (đáp ứng đàn hồi tuyến tính)

Vật thể đàn hồi tuyến tính là vật liệu mà trong miền biến dạng đủ nhỏ dưới tác dụng của tải, ứng suất và biến dạng có quan hệ tuyến tính, đồng thời thể hiện đáp ứng thuận nghịch và không phụ thuộc lịch sử, trong đó toàn bộ biến dạng trở về trạng thái ban đầu khi dỡ tải. Khác với tính dẻo hay từ biến, vật liệu không có biến nội tại biểu diễn trạng thái (như biến dạng dẻo hoặc biến dạng nhớt), và ứng suất được xác định duy nhất chỉ bởi biến dạng tại thời điểm hiện tại.

Trong miền biến dạng nhỏ, sử dụng ứng suất Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) và biến dạng vi phân \(\boldsymbol{\varepsilon}\); trong miền biến dạng hữu hạn (bài toán có quay lớn nhưng bản thân biến dạng vẫn nhỏ), sử dụng ứng suất Piola-Kirchhoff thứ hai \(\boldsymbol{S}\) và biến dạng Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (vật liệu St.Venant-Kirchhoff).

Quan hệ cấu thành

Vật liệu đàn hồi tuyến tính đẳng hướng

Trong miền biến dạng nhỏ, định luật Hooke đẳng hướng được biểu diễn bằng các hằng số Lamé \(\lambda, \mu\) như sau:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Dưới dạng thành phần,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

và phép co kép với biến dạng cho \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Các hằng số Lamé có quan hệ với mô đun Young \(E\) và hệ số Poisson \(\nu\) như sau:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Trong ký hiệu Voigt, quan hệ giữa vectơ biến dạng \(\hat{\varepsilon}\) và vectơ ứng suất \(\hat{\sigma}\) được viết là \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), và ma trận vật liệu ba chiều \(D\) là

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

(trong triển khai sử dụng biểu diễn ma trận này).

Vật liệu đàn hồi tuyến tính trực hướng

Đối với vật liệu có các hằng số đàn hồi khác nhau theo từng phương trục chính, sử dụng mô hình trực hướng với 9 hằng số độc lập: mô đun Young theo các phương trục chính \(E_1, E_2, E_3\), hệ số Poisson giữa các trục chính \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) và mô đun trượt \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Dạng cụ thể của ma trận \(D\) được trình bày trong các tài liệu tham khảo thông dụng.

Miền biến dạng hữu hạn: vật liệu St.Venant-Kirchhoff

Đối với bài toán có quay lớn nhưng bản thân biến dạng vẫn nhỏ, vật liệu St.Venant-Kirchhoff được sử dụng như một định luật đàn hồi tuyến tính liên hệ ứng suất Piola-Kirchhoff thứ hai \(\boldsymbol{S}\) với biến dạng Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Định nghĩa các hằng số Lamé \(\lambda, \mu\) giống với trường hợp biến dạng nhỏ. Tuy nhiên, do cặp định nghĩa ứng suất-biến dạng khác nhau, cần lưu ý rằng đây là một quan hệ cấu thành khác với định luật Hooke trong biến dạng nhỏ.

Vật liệu hypoelastic

Trong phương pháp Updated Lagrange, sử dụng định luật đàn hồi tuyến tính giữa tốc độ Jaumann của tensor ứng suất Kirchhoff tương đối \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) và tensor tốc độ biến dạng \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

cho vật liệu hypoelastic. Ở đây, định nghĩa \(\boldsymbol{C}\) bằng các hằng số Lamé cũng giống như trên, nhưng do cặp ứng suất-biến dạng khác nên đây là một quan hệ cấu thành khác. Về chi tiết cập nhật ứng suất \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) bằng quy trình tích phân theo thời gian (tích phân Euler tiến và xấp xỉ sai phân trung tâm), xem tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Rút gọn cho phân tích hai chiều và phần tử vỏ

Ứng suất phẳng (\(\sigma_{33} = 0\))

Trong trạng thái ứng suất phẳng dùng để biểu diễn tải trên tấm mỏng và vỏ, giả thiết \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) và sử dụng ma trận \(D\) sau khi loại biến dạng ngoài mặt phẳng \(\varepsilon_{33}\) bằng phép biến đổi đại số:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Biến dạng phẳng (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Trong trạng thái biến dạng phẳng dùng để biểu diễn mặt cắt của kết cấu dài bị ràng buộc theo phương chiều dày, giả thiết \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Đối xứng trục

Trong phân tích đối xứng trục cho các bài toán đồng nhất theo phương \(\theta\) trong hệ tọa độ trụ \((r, \theta, z)\), giữ bốn thành phần \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) và \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), khi đó

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

thu được.

Phần tử vỏ (ứng suất phẳng + cắt ngang)

Đối với phần tử vỏ, ứng suất trong mặt phẳng được xử lý theo trạng thái ứng suất phẳng; đối với các thành phần biến dạng cắt ngang \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\), sử dụng \(\kappa\, G\) với hệ số hiệu chỉnh cắt \(\kappa\) (thông thường \(\kappa = 5/6\)). Về công thức chi tiết cho từng phần tử, xem Công thức phần tử nâng cao. Quy định trong phần chức năng 03_material rằng “phần tử vỏ chỉ hỗ trợ đàn hồi tuyến tính” dựa trên sự đơn giản hóa xử lý trạng thái trong mặt phẳng theo ứng suất phẳng.

Sự phụ thuộc nhiệt độ

Mô đun Young \(E\), hệ số Poisson \(\nu\) và hệ số giãn nở tuyến tính \(\alpha\) thường được chỉ định dưới dạng hàm của nhiệt độ \(T\). Trong FrontISTR, nhập các giá trị tại một dãy hữu hạn các điểm nhiệt độ \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\); nhiệt độ \(T\) trong quá trình tính được đánh giá bằng nội suy tuyến tính giữa hai điểm lân cận. Với nhiệt độ ngoài phạm vi (\(T < T_1\) hoặc \(T > T_n\)), sử dụng giá trị tại đầu mút gần nhất \(T_1\) hoặc \(T_n\) để ngoại suy (ngoại suy hằng).

Về sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất nhiệt và dẫn nhiệt (khối lượng riêng, nhiệt dung riêng và hệ số dẫn nhiệt), xem Tính chất nhiệt. Quy tắc nội suy là chung cho các tính chất này.

Các mục liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status