Ga naar inhoud

Lineaire elasticiteit

Dit hoofdstuk behandelt de constitutieve wet (wet van Hooke) voor lineair elastische materialen. Zie voor details over modelselectie en invoerspecificaties de functiesectie 03_material.

Verschijnsel (lineair elastische respons)

Een lineair elastisch lichaam is een materiaal dat, binnen een gebied waarin de rek onder belasting voldoende klein is, een lineair verband tussen spanning en rek en een omkeerbare, geschiedenisonafhankelijke respons vertoont waarbij alle rek na ontlasting naar de oorspronkelijke toestand terugkeert. Anders dan bij plasticiteit of kruip zijn er geen interne variabelen die de toestand weergeven (zoals plastische rek of viskeuze rek), en wordt de spanning uitsluitend door de huidige rek eenduidig bepaald.

In het gebied van kleine vervormingen worden de Cauchy-spanning \(\boldsymbol{\sigma}\) en infinitesimale rek \(\boldsymbol{\varepsilon}\) gebruikt; in het gebied van eindige vervormingen (problemen met grote rotaties maar waarbij de rek zelf klein is) worden de tweede Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{S}\) en Green-Lagrange-rek \(\boldsymbol{E}\) gebruikt (St.Venant-Kirchhoff-materiaal).

Constitutieve wet

Isotroop lineair elastisch materiaal

In het gebied van kleine vervormingen wordt de isotrope wet van Hooke met de Lamé-constanten \(\lambda, \mu\) uitgedrukt als

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

In componentvorm,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

en dubbele contractie met de rek geeft \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). De Lamé-constanten hangen als volgt samen met de Young-modulus \(E\) en het Poissongetal \(\nu\):

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

In Voigt-notatie wordt het verband tussen de rekvector \(\hat{\varepsilon}\) en spanningsvector \(\hat{\sigma}\) geschreven als \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), en de driedimensionale materiaalmatrix \(D\) is

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Deze matrixrepresentatie wordt in de implementatie gebruikt.

Orthotroop lineair elastisch materiaal

Voor materialen waarvan de elastische constanten per hoofdasrichting verschillen, wordt een orthotroop model met negen onafhankelijke constanten gebruikt: Young-moduli in de hoofdasrichtingen \(E_1, E_2, E_3\), Poissongetallen tussen de hoofdassen \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) en schuifmoduli \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Raadpleeg standaardreferenties voor de expliciete vorm van de \(D\)-matrix.

Eindige-vervormingsgebied: St.Venant-Kirchhoff-materiaal

Voor problemen met grote rotaties maar waarbij de rek zelf klein is, wordt het St.Venant-Kirchhoff-materiaal gebruikt als een lineair elastische wet die de tweede Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{S}\) en Green-Lagrange-rek \(\boldsymbol{E}\) relateert:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

De definities van de Lamé-constanten \(\lambda, \mu\) zijn dezelfde als in het geval van kleine vervormingen. Merk echter op dat dit, doordat de definities van het spanning-rekpaar verschillen, een andere constitutieve wet is dan de wet van Hooke voor kleine vervormingen.

Hypo-elastisch materiaal

In de Updated Lagrange-methode wordt een hypo-elastisch materiaal gebruikt dat de lineair elastische wet toepast tussen de Jaumann-afgeleide van de relatieve Kirchhoff-spanningstensor \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) en de vervormingssnelheidstensor \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Ook hier is de definitie van \(\boldsymbol{C}\) in termen van de Lamé-constanten dezelfde als hierboven, maar doordat het spanning-rekpaar verschilt, is dit een andere constitutieve wet. Zie tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex voor details over hoe \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) via de tijdintegratieprocedure (voorwaartse Euler-integratie en centrale-differentiebenadering) wordt bijgewerkt.

Reductie voor tweedimensionale analyse en schaalelementen

Vlakspanning (\(\sigma_{33} = 0\))

Voor vlakspanning, die belasting van dunne platen en schalen weergeeft, wordt \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) aangenomen en wordt \(D\) gebruikt waarbij de rekcomponent buiten het vlak \(\varepsilon_{33}\) algebraïsch is geëlimineerd:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Vlakvervorming (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Voor vlakvervorming, die de doorsnede van een lange constructie weergeeft die in de dikterichting is beperkt, wordt \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) aangenomen:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Axisymmetrisch

Bij axisymmetrische analyse, voor problemen die uniform zijn in de \(\theta\)-richting in cilindrische coördinaten \((r, \theta, z)\), worden de vier componenten \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) en \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) behouden, en

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

wordt verkregen.

Schaalelementen (vlakspanning + dwarsschuif)

Voor schaalelementen wordt de spanning in het vlak behandeld als vlakspanning, en voor de dwarsschuifrekcomponenten \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) wordt \(\kappa\, G\) gebruikt met de schuifcorrectiefactor \(\kappa\) (doorgaans \(\kappa = 5/6\)). Zie Geavanceerde elementformuleringen voor de gedetailleerde formulering van elk element. De specificatie in de functiesectie 03_material dat "schaalelementen alleen lineaire elasticiteit ondersteunen" is gebaseerd op deze vereenvoudiging waarbij de toestand in het vlak als vlakspanning wordt behandeld.

Temperatuurafhankelijkheid

De Young-modulus \(E\), het Poissongetal \(\nu\) en de lineaire uitzettingscoëfficiënt \(\alpha\) worden doorgaans opgegeven als functies van de temperatuur \(T\). In FrontISTR worden waarden ingevoerd voor een eindige reeks temperatuurpunten \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), en wordt de temperatuur \(T\) tijdens de berekening geëvalueerd door lineaire interpolatie tussen aangrenzende punten. Voor temperaturen buiten het bereik (\(T < T_1\) of \(T > T_n\)) wordt de waarde van het dichtstbijzijnde eindpunt, \(T_1\) of \(T_n\), gebruikt voor extrapolatie (constante extrapolatie).

Zie voor de temperatuurafhankelijkheid van thermische en warmtegeleidingseigenschappen (dichtheid, soortelijke warmte en thermische geleidbaarheid) Thermische eigenschappen. De interpolatieregels zijn voor deze eigenschappen hetzelfde.

Gerelateerde onderwerpen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status