Ga naar inhoud

Warmtegeleidingsvergelijking

Dit hoofdstuk vat op continuümniveau de door FrontISTR behandelde fundamentele warmtegeleidingsvergelijking en de bijbehorende randvoorwaarden samen. De tijdsdiscretisatie en FEM-discretisatie worden behandeld in het onderdeel discretisatie (L3d) en het onderdeel oplossingsalgoritmen (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Fundamentele vergelijking

De warmtegeleidingsvergelijking in een continuüm wordt als volgt gegeven.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Hierbij staat \(\rho=\rho(x)\) voor de massadichtheid, \(c=c(x,T)\) voor de soortelijke warmte, \(T=T(x,t)\) voor de temperatuur, \(k=k(x,T)\) voor de warmtegeleidingscoëfficiënt, \(Q=Q(x,T,t)\) voor de warmteontwikkeling, \(x\) voor de positie en \(t\) voor de tijd. \(k_x, k_y, k_z\) zijn de warmtegeleidingscoëfficiënten in de respectieve richtingen bij anisotrope warmtegeleiding.

Zie Thermische eigenschappen voor specifieke thermische eigenschappen, waaronder temperatuurafhankelijkheid en anisotropie.

Randvoorwaarden

Laat het beschouwde domein \(S\) zijn en duid de grens ervan aan met \(\Gamma\). Ervan uitgaande dat overal op \(\Gamma\) een randvoorwaarde van het Dirichlet- of Neumann-type is voorgeschreven, worden de randvoorwaarden als volgt gegeven.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Hierbij worden de functionele vormen van \(T_1\) en \(q\) als bekend verondersteld. \(q\) is de warmteflux die de grens verlaat. De warmteflux aan de grens \(q\) bestaat uit de volgende drie componenten.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Hierbij is \(q_s\) de verdeelde warmteflux, \(q_c\) de warmteflux door convectieve warmteoverdracht en \(q_r\) de warmteflux door stralingswarmteoverdracht.

Hierbij is \(Tc=Tc(x,t)\) de omgevingstemperatuur voor convectieve warmteoverdracht, \(hc=hc(x,t)\) de convectieve warmteoverdrachtscoëfficiënt, \(Tr=Tr(x,t)\) de omgevingstemperatuur voor stralingswarmteoverdracht, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) de stralingswarmteoverdrachtscoëfficiënt, \(\varepsilon\) de emissiviteit, \(\sigma\) de Stefan-Boltzmann-constante en \(F\) de zichtfactor.

Zie Randvoorwaarden en belastingen in de functiereferentie voor de wijze waarop deze voorwaarden in een invoerbestand worden opgegeven.

Zwakke vorm

Koppeling met structurele analyse

Gerelateerde onderwerpen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status