Värmeledningsekvationen

Detta kapitel sammanfattar den styrande värmeledningsekvation som FrontISTR behandlar på kontinuumnivå samt dess randvillkor. Tidsdiskretisering och FEM-diskretisering behandlas i avsnittet om diskretisering (L3d) respektive avsnittet om lösningsalgoritmer (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Styrande ekvation

Värmeledningsekvationen i ett kontinuum ges enligt följande.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Här betecknar \(\rho=\rho(x)\) massdensitet, \(c=c(x,T)\) specifik värmekapacitet, \(T=T(x,t)\) temperatur, \(k=k(x,T)\) värmeledningsförmåga, \(Q=Q(x,T,t)\) värmegenerering, \(x\) position och \(t\) tid. \(k_x, k_y, k_z\) är värmeledningsförmågan i respektive riktning vid anisotrop värmeledning.

För specifika termiska egenskaper, inklusive temperaturberoende och anisotropi, se Termiska egenskaper.

Randvillkor

Låt det betraktade området vara \(S\) och dess rand betecknas med \(\Gamma\). Om antingen ett randvillkor av Dirichlet-typ eller Neumann-typ föreskrivs överallt på \(\Gamma\) ges randvillkoren enligt följande.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Här antas funktionsformerna för \(T_1\) och \(q\) vara kända. \(q\) är värmeflödet som lämnar randen. Randvärmeflödet \(q\) består av följande tre komponenter.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Här är \(q_s\) det fördelade värmeflödet, \(q_c\) värmeflödet från konvektiv värmeöverföring och \(q_r\) värmeflödet från strålningsvärmeöverföring.

Här är \(Tc=Tc(x,t)\) omgivningstemperaturen för konvektiv värmeöverföring, \(hc=hc(x,t)\) den konvektiva värmeöverföringskoefficienten, \(Tr=Tr(x,t)\) omgivningstemperaturen för strålningsvärmeöverföring, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) strålningsvärmeöverföringskoefficienten, \(\varepsilon\) emissiviteten, \(\sigma\) Stefan-Boltzmanns konstant och \(F\) formfaktorn.

För hur dessa villkor anges i en indatafil, se Randvillkor och laster i funktionsreferensen.

Svag form

Koppling till strukturanalys

Relaterade ämnen

• Transient värmeledning — tidsdiskretisering och icke-linjär iteration
• Termiska egenskaper — formulering av materialegenskaper och temperaturberoende
• Formfunktioner och finita elementapproximation — ramverk för FEM-diskretisering
• Funktionsreferens: Randvillkor och laster — indata för randvillkor vid värmeledningsanalys