Hyperelasticitet¶

Detta kapitel behandlar de hyperelastiska konstitutiva lagar som stöds av FrontISTR. För detaljer om val av modell och indataspecifikationer, se funktionsavsnittet 03_material.

Fenomen (reversibel respons vid stora deformationer)¶

TBD (ska utvecklas till fullständig text i nästa fas).

Konstitutivt ramverk¶

För ett isotropt hyperelastiskt material erhålls den elastiska potentiella energin från en isotrop respons från det initiala ospända tillståndet och kan uttryckas som en funktion av huvudinvarianterna \((I_1, I_2, I_3)\) för den högra Cauchy–Green-deformationstensorn \(C\), eller av huvudinvarianterna \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) för deformationstensorn där volymändringen har tagits bort, det vill säga som \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) eller \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

Den konstitutiva ekvationen för ett hyperelastiskt material definieras av sambandet mellan den andra Piola–Kirchhoff-spänningen och Green–Lagrange-töjningen, och Total Lagrange-metoden tillämpas vid dess deformationsanalys.

När den elastiska potentiella energin \(W\) är känd kan den andra Piola–Kirchhoff-spänningen och spännings–töjningssambandet beräknas enligt följande.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]

\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

De elastiska potentiella energierna \(W\) för de hyperelastiska modeller som används av FrontISTR anges nedan.

Neo-Hookean-hyperelastisk modell¶

Den Neo-Hookean-hyperelastiska modellen utvidgar en isotrop linjär lag (Hookes lag) så att den kan tillämpas på problem med stora deformationer. Dess elastiska potential är följande.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Här är \(C_{10}\) och \(D\) materialkonstanter.

Mooney–Rivlin-hyperelastisk modell¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Här är \(C_{10}\), \(C_{01}\) och \(D\) materialkonstanter.

Anisotrop Mooney–Rivlin-hyperelastisk modell¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Här är \(C_{10}\), \(C_{01}\) och \(D\) materialkonstanter som är gemensamma med den isotropa modellen, medan \(C_{42}\) och \(C_{43}\) är materialkonstanter specifika för anisotropi.

Arruda–Boyce-hyperelastisk modell¶

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]

\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Här är \(\mu_0\), \(\lambda_m\) och \(D\) materialkonstanter.

Relaterade ämnen¶

Linjär elasticitet — Elastisk respons vid små deformationer
Elastoplasticitet — Konstitutiva lagar som omfattar irreversibel deformation
Materialdata (funktioner) — Modellalternativ och val