Formfunktioner och finita element-approximation

För att kunna behandla den svaga formen av principen för virtuellt arbete beräkningsmässigt delas kroppens domän upp i ett ändligt antal element, och materialpunktskoordinater, förskjutning och testfunktion inom varje element interpoleras från nodvärden och formfunktioner. Formfunktionernas rumsderivator behandlas i Formfunktioners rumsderivator, diskretiseringen av den svaga formen i Diskretisering av inre virtuellt arbete, och de specifika formerna för formfunktionerna för varje elementtyp i Elementnumreringssystem och formfunktionsbibliotek och efterföljande avsnitt.

Domänuppdelning och elementvisa summor av integraler

Domänen \(\Omega_0\) i referenskonfigurationen och domänen \(\Omega\) i den aktuella konfigurationen approximeras med unionerna av elementen \(\Omega^e_0\) respektive \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) är elementnumret, och elementgränser delas mellan angränsande element.) Därmed delas volym- och ytintegralerna i principen för virtuellt arbete upp i summor av integraler över enskilda element:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Detsamma gäller för den aktuella konfigurationen om \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) och \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) ersätts.) Härefter reduceras utvärderingen av den svaga formen till konstruktion av integraler element för element.

Interpolation med nodvärden och formfunktioner (isoparametriska element)

Varje element \(\Omega^e_0\) tilldelas \(n_e\) noder. Låt koordinaterna i referenskonfigurationen och nodförskjutningarna för elementnod \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) vara \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Elementnodvektorerna \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) och \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) bildas genom att ordna dessa värden; för element \(e\) innehåller de endast komponenterna för de noder som utgör elementet, extraherade ur de globala nodvektorerna \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) är det totala antalet noder).

Med de naturliga koordinaterna \(\boldsymbol{r}\), som är lokala koordinater inom elementet, som parametrar interpolerar formfunktionerna \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) materialkoordinater, förskjutning och testfunktion inom elementet med samma formfunktioner (isoparametriskt element och Galerkin-metoden):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Formfunktionerna konstrueras för att uppfylla följande två egenskaper, och elementgeometrin väljs så att avbildningen \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) från naturliga koordinater till materialkoordinater är entydig inom elementet:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) är punkten i naturliga koordinater som motsvarar nod \(\alpha\), och \(\delta_{\alpha\beta}\) är Kroneckers delta.) Den första ekvationen garanterar återgivning av stelkroppstranslation, och den andra garanterar att det interpolerade värdet sammanfaller med nodvärdet vid varje nod. De specifika formerna för \(n_e\) och \(N_\alpha^e\) för varje elementtyp anges i Elementnumreringssystem och formfunktionsbibliotek och efterföljande avsnitt. För att undvika otymplig notation representeras beroendet av elementtypen med det elementvisa övre indexet \(e\).

Med interpolationsreglerna ovan kan integranden i den svaga formen uttryckas enbart i elementets nodvärden \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) och \(N_\alpha^e\). Töjningen härleds däremot från den interpolerade förskjutningen och töjnings-förskjutningsrelationen, medan spänningen härleds från denna töjning och materialets konstitutiva lag; dessa storheter interpoleras inte direkt från nodvärden. De utvärderas vid integrationspunkter inom elementet (Numerisk integration).

Ordningsregel för globala nodvektorer

Fysikaliska storheter som tilldelas noder ordnas i den globala nodvektorn i stigande ordning efter nodnummer → frihetsgrad. Om frihetsgradskomponent \(i\) vid nod \(\alpha\) betecknas \(u_{i\alpha}\) gäller i tre dimensioner (\(i=1,2,3\)) respektive två dimensioner (\(i=1,2\))

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Koordinaterna \(\boldsymbol{X}^n\) och testfunktionen \(\delta\boldsymbol{u}^n\) följer samma ordning. Härefter skrivs härledningar i matris- och vektorform med det tredimensionella fallet som representativt.

Relaterade ämnen

• Principen för virtuellt arbete — Svag form som ska diskretiseras
• Formfunktioners rumsderivator — Förberedelse av Jacobian och B-matris
• Elementnumreringssystem och formfunktionsbibliotek — Formfunktioner för varje elementtyp