Gå till innehållet

Principen om virtuellt arbete

Utifrån jämviktsekvationen och randvillkoren som härleds i Spänning och bevarandelagar härleder vi principen om virtuellt arbete, som är den svaga formen av randvärdesproblemet i kontinuummekanik. Diskretisering med finita element utgår från denna svaga form. Detta kapitel presenterar både formen i aktuell konfiguration (uttryckt med Cauchy-spänning och den linjära delen av Almansi-töjningen) och formen i referenskonfigurationen (uttryckt med den andra Piola–Kirchhoff-spänningen och Green–Lagrange-töjningen), visar deras ekvivalens och bekräftar därefter reduktionen till små deformationer.

Jämviktsekvation och randvillkor

Låt \(\boldsymbol{g}\) vara kroppskraften som verkar på kontinuumet per massenhet och betrakta en kropp som upptar domänen \(\Omega\) i den aktuella konfigurationen. Randen \(\Gamma\) delas upp i den geometriska randen där förskjutningen är föreskriven som \(\bar{\boldsymbol{u}}\), \(\Gamma_B\), och den mekaniska randen där ytlasten är föreskriven som \(\bar{\boldsymbol{t}}\), \(\Gamma_t\), med \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) och \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). För ett statiskt problem erhålls jämviktsekvationen genom att tröghetstermen utelämnas från lagen om rörelsemängdens bevarande som visas i Spänning och bevarandelagar:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{i} \ \Omega \]

Randvillkoren är

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{på} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{på} \ \Gamma_B \]

I fortsättningen härleds principen om virtuellt arbete som den svaga formen av jämviktsekvationen och det mekaniska randvillkoret \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Det geometriska randvillkoret \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) införlivas genom valet av testfunktion.

Svag form i den aktuella konfigurationen

I den svaga formen definieras det tillåtna rummet för den okända förskjutningen respektive testfunktionsrummet som

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{på} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{på} \ \Gamma_B \} \]

Här är \(d\) den rumsliga dimensionen, \(H^1(\Omega)\) Sobolevrummet av funktioner som är kvadratintegrerbara tillsammans med sina första svaga derivator, och \(\delta\) betecknar variation. I representationen i aktuell konfiguration är \(\Omega\) den deformerade konfigurationen; i en faktisk numerisk lösning återförs den till referenskonfigurationen eller till en känd mellanliggande konfiguration.

Om jämviktsekvationen multipliceras med vikten \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) och Gauss divergensteorem samt det mekaniska randvillkoret tillämpas erhålls följande princip om virtuellt arbete i den aktuella konfigurationen.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Här är \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) den linjära delen av Almansi-töjningstensorn, definierad av

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Dess variation är \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Vi söker alltså \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) så att ekvationen för virtuellt arbete uppfylls för varje \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Vänsterledet är de inre krafternas virtuella arbete, medan högerledet är de yttre krafternas virtuella arbete till följd av föreskriven ytlast och kroppskraft.

Eftersom denna ekvation är skriven över den deformerade domänen (aktuell konfiguration) väljer den faktiska lösningsproceduren på nytt den initiala konfigurationen \(\Omega_0\) (referenskonfiguration) eller en känd mellanliggande konfiguration som referenskonfiguration, skriver om ekvationen i inkrementell form och löser den därefter. Se Ramverk för inkrementell analys för det konkreta valet av referenskonfiguration (Total Lagrange / Updated Lagrange) och den inkrementella uppdelningen.

Svag form i den initiala konfigurationen

Betrakta en kropp som upptar domänen \(\Omega_0\) i referenskonfigurationen, med randen \(\Gamma_0\) uppdelad i \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). När representationen i aktuell konfiguration återförs till referenskonfigurationen erhålls det konjugerade spännings–töjningsparet bestående av den andra Piola–Kirchhoff-spänningen \(\boldsymbol{S}\) och Green–Lagrange-töjningen \(\boldsymbol{E}\). Principen om virtuellt arbete i den initiala konfigurationen är då

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Här är \(\rho_0\) massdensiteten i referenskonfigurationen, och genom massbevaranderelationen \(\rho_0 = J\rho\) är detta ekvivalent med representationen av kroppskraften i den aktuella konfigurationen.

Ekvivalens mellan representationerna i aktuell och initial konfiguration

De inre krafternas virtuella arbete i de två representationerna sammanfaller genom transformationen med deformationsgradienten \(\boldsymbol{F}\) och volymförhållandet \(J = \det \boldsymbol{F}\), dvs.

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Termerna för yttre krafter är också ekvivalenta genom massbevarande och transformation av ytlasten. Därför uttrycker ekvationen för virtuellt arbete i aktuell konfiguration och den i initial konfiguration samma princip i olika konfigurationer. En lösningsmetod som refererar till referenskonfigurationen motsvarar Total Lagrange-metoden, medan en lösningsmetod som refererar till den aktuella konfigurationen (den närmast föregående konvergerade konfigurationen) motsvarar Updated Lagrange-metoden.

Reduktion till små deformationer

Under antagandena om små deformationer \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) och \(J \approx 1\) försvinner skillnaden mellan aktuell och referenskonfiguration, den andra PK-spänningen sammanfaller med Cauchy-spänningen (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), och både Green–Lagrange-töjningen och den linjära delen av Almansi-töjningen reduceras till den infinitesimala töjningen \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Principen om virtuellt arbete reduceras då till den svaga formen uttryckt med Cauchy-spänningen \(\boldsymbol{\sigma}\) och den infinitesimala töjningen \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{på} \ \Gamma_B \]

Detta är den svaga form som används direkt för diskretisering i linjärelastisk statisk analys med små deformationer (Linjär elastisk statisk analys (introduktion och appendix) utgår från denna form och visar konstruktionen av elementstyvheten \(\boldsymbol{K}^e\) genom sammansättning av den globala ekvationen \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Om den linjärelastiska konstitutiva lagen \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) sätts in och \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) skrivs i Voigt-notation, blir den svaga formen

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

som har denna form.

Relaterade ämnen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status