Linjär elastisk statisk analys (introduktion)

Detta avsnitt presenterar formuleringen av elastisk statisk analys baserad på teorin för infinitesimala deformationer. Linjär elasticitet antas för sambandet mellan spänning och töjning. Kapitlet är avsett som en introduktion till den övergripande strukturen hos strukturanalys med finita element och är utformat som ett självständigt kapitel.

För den allmänna teorin för principen om virtuellt arbete (form i aktuell konfiguration, form i initial konfiguration och reduktion till infinitesimal deformation), se Principen om virtuellt arbete; för detaljer om den linjärelastiska konstitutiva lagen, se Linjär elasticitet; för konventioner för tensor- och Voigt-notation, se Tensornotation och matematiska grunder; för den allmänna formuleringen av finita deformationer, se Rörelse, deformation och töjning; och för lösningsmetoder för icke-linjära problem, se Tangentstyvhetsmatris.

Grundläggande ekvationer

Under antagandena om infinitesimal deformation och linjär elasticitet består randvärdesproblemet i solidmekanik av jämviktsekvationen, mekaniska randvillkor och geometriska randvillkor (essentiella randvillkor) (se figur 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{i} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{på} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{på} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Här är \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy-spänningen, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) volymkraften per volymenhet, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) den föreskrivna ytlasten, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) den föreskrivna förskjutningen och \(S_t, S_u\) de mekaniska respektive geometriska ränderna.

Figur 2.1.1 Randvärdesproblem i solidmekanik (problem med infinitesimal deformation)

Med hjälp av den symmetriska gradientoperatorn är sambandet mellan töjning och förskjutning

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Den linjärelastiska konstitutiva ekvationen är

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

där \(\boldsymbol{C}\) är elasticitetstensorn av fjärde ordningen.

Principen om virtuellt arbete

De allmänna formerna av principen om virtuellt arbete (form i aktuell konfiguration, form i initial konfiguration och reduktion till infinitesimal deformation) sammanfattas i Principen om virtuellt arbete. Under antagandena om infinitesimal deformation och linjär elasticitet är den svaga formen

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{på} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Genom att sätta in den konstitutiva ekvationen \eqref{eq:2.1.5} och skriva \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) i Voigt-notation erhålls den form som används direkt för diskretisering:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

erhålls, där \(D\) är den elastiska matris som definieras i Linjär elasticitet. Ekvationerna \eqref{eq:2.1.10} och \eqref{eq:2.1.7} utgör principen om virtuellt arbete som diskretiseras nedan.

Diskretisering och sammansättning av den globala ekvationen

Diskretisering av principen om virtuellt arbete i ekv.\( \eqref{eq:2.1.10} \) över de finita elementen ger

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

För varje element interpoleras förskjutningsfältet med hjälp av förskjutningarna hos de noder som utgör elementet enligt följande.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Töjningen ges därefter med hjälp av ekv.\(\eqref{eq:2.1.4}\) enligt följande.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Insättning av ekv.\(\eqref{eq:2.1.12}\) och \(\eqref{eq:2.1.13}\) i ekv.\(\eqref{eq:2.1.11}\) ger

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Ekvation \(\eqref{eq:2.1.14}\) kan skrivas som

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Här kan komponenterna i matrisen och vektorn som definieras av ekv.\(\eqref{eq:2.1.16}\) och \(\eqref{eq:2.1.17}\) beräknas för varje finit element och sättas samman genom superposition.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Eftersom ekv.\(\eqref{eq:2.1.15}\) gäller för en godtycklig virtuell förskjutning \(\delta \boldsymbol{U}\) erhålls följande ekvation.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Samtidigt uttrycks förskjutningsrandvillkoret i ekv.\(\eqref{eq:2.1.3}\) enligt följande.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Genom att lösa ekv.\(\eqref{eq:2.1.18}\) under bivillkoret i ekv.\(\eqref{eq:2.1.19}\) kan nodförskjutningen \(\boldsymbol{U}\) bestämmas.

Se även