Modalanalys¶

Generaliserat egenvärdesproblem¶

Vid analys av fri vibration i ett kontinuum diskretiseras området spatialt och modelleras som ett system med flera frihetsgrader och lumpade massor, såsom visas i figur 2.3.1. För ett problem med odämpad fri vibration är den styrande ekvationen (rörelseekvationen) följande.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Här är $u$ den generaliserade förskjutningsvektorn, $M$ massmatrisen och $K$ styvhetsmatrisen. Låt egenvinkelfrekvensen vara $\omega$, låt $a$, $b$ och $c$ vara godtyckliga konstanter och låt $x$ vara en vektor. Definiera funktionen

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Andraderivatan av detta uttryck är

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Insättning av dessa uttryck i ekvation $\eqref{eq:2.3.1}$ ger

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Det vill säga,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

erhålls.

Om alltså ekvation $\eqref{eq:2.3.5}$ uppfylls av koefficienten $\lambda = \omega^2$ och vektorn $x$ kan bestämmas, är funktionen $u(t)$ en lösning till ekvation $\eqref{eq:2.3.1}$.

Koefficienten $\lambda$ kallas ett egenvärde och vektorn $x$ en egenvektor. Problemet att bestämma dem från ekvation $\eqref{eq:2.3.1}$ kallas ett generaliserat egenvärdesproblem.

Exempel på ett system med flera frihetsgrader i odämpad fri vibration

Figur 2.3.1 Exempel på ett system med flera frihetsgrader i odämpad fri vibration

Matrisegenskaper och antaganden¶

För det generaliserade egenvärdesproblemet $K x = \lambda M x$ som erhölls i föregående avsnitt antar denna manual följande matrisegenskaper. Dessa antaganden ligger till grund för konvergensen och tillämpningsområdet för skiftad invers iteration och Lanczos-metoden som beskrivs nedan. För en komplex matris är transponatet komplexkonjugerat, medan en reell matris är symmetrisk. Mer specifikt, för matrisen $K$, om dess $ij$-komponent är $k_{ij}$ och komplexkonjugatet av $k$ betecknas $\bar{k}$, gäller

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

följande relation.

I denna manual antas matriserna vara symmetriska och positivt definita. Positivt definit innebär att alla egenvärden är positiva; ekvivalent uppfyller matrisen alltid ekvation $\eqref{eq:2.3.7}$ nedan.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Skiftad invers iteration¶

I finita elementbaserad strukturanalys behövs i praktiken normalt inte alla egenvärden; i många fall räcker ett fåtal egenvärden av låg ordning. HEC-MW är avsett för storskaliga problem där matriserna är stora och mycket glesa (innehåller många nollposter). Det är därför viktigt att, med hänsyn till denna egenskap, effektivt beräkna egenvärden för moder av låg ordning.

Låt $\sigma$ vara egenvärdenas undre gräns. Ekvation $\eqref{eq:2.3.5}$ kan då omformas till följande matematiskt ekvivalenta form.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Denna transformation har följande användbara egenskaper för beräkningen.

Modordningen inverteras.
Egenvärden nära $\rho$ avbildas till de största värdena.

I faktisk beräkning erhålls ofta de största egenvärdena först. Därför tillämpas huvudberäkningen för konvergens, i stället för på ekvation $\eqref{eq:2.3.5}$, på ekvation $\eqref{eq:2.3.8}$, med syftet att först erhålla egenvärden nära $\rho$. Denna teknik kallas skiftad invers iteration.

Lanczos-metoden¶

Motiv för användning (jämförelse med Jacobi-metoden)¶

Bland klassiska metoder är Jacobi-metoden välkänd.

Denna metod är effektiv när matrisen är liten och tät. Eftersom matriserna som HEC-MW hanterar är stora och glesa används dock inte Jacobi-metoden; i stället används den iterativa Lanczos-metoden.

Algoritm och egenskaper¶

Metoden föreslogs av C. Lanczos på 1950-talet och är en algoritm för att reducera en matris till tridiagonal form. Den har följande egenskaper.

Det är en iterativ konvergent metod och beräkningen kan fortgå samtidigt som matrisen hålls gles.
Algoritmen består huvudsakligen av matris-vektorprodukter och lämpar sig väl för parallellisering.
Den lämpar sig väl för geometrisk domänuppdelning som hör till finita elementnät.
Effektiv beräkning är möjlig genom att begränsa antalet egenvärden och intervallet av moder som ska erhållas.

Lanczos-metoden utgår från en initialvektor, genererar successivt ortogonala vektorer och konstruerar en bas för ett underrum. Den sägs vara snabbare än underrumsmetoden, som är en annan iterativ metod, och används allmänt i finita elementprogram. Metoden är dock känslig för numeriska fel, som kan förstöra vektorernas ortogonalitet och leda till att beräkningen bryter samman. Åtgärder mot sådana numeriska fel är därför nödvändiga.

Geometrisk tolkning (Krylov-underrum)¶

Genom att införa följande variabelbyte i ekvation $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

kan problemet skrivas om som

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

erhålls.

För en lämplig vektor $q_0$ appliceras den linjära transformation som representeras av matris $A$ (se figur 2.3.2).

$Linjär transformation med matris $A$ av $q_0$$

Figur 2.3.2 Linjär transformation med matris $A$ av $q_0$

Den transformerade vektorn ortogonaliseras inom det rum som den spänner upp tillsammans med den ursprungliga vektorn. Det vill säga utförs Gram–Schmidt-ortogonalisering som visas i figur 2.3.2. Låt den resulterande vektorn vara $r_1$. Normalisera den till enhetslängd för att erhålla $q_1$ (figur 2.3.3). Från $q_1$ erhålls $q_2$ med samma procedur. Vid denna punkt är $q_2$ ortogonal mot både $q_1$ och $q_0$ (figur 2.3.4). Om samma beräkning fortsätter erhålls ömsesidigt ortogonala vektorer upp till matrisens ordning.

$En vektor ortogonal mot $q_0$: $q_1$$

Figur 2.3.3 En vektor ortogonal mot $q_0$: $q_1$

$En vektor ortogonal mot $q_1$ och $q_0$: $q_2$$

Figur 2.3.4 En vektor ortogonal mot $q_1$ och $q_0$: $q_2$

Lanczos-algoritmen tillämpas särskilt på vektorföljden $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

eller ekvivalent $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

med Gram-Schmidt-ortogonalisering. Denna vektorföljd kallas en Krylov-följd, och rummet som den spänner upp kallas ett Krylov-underrum. När Gram-Schmidt-ortogonalisering utförs i detta rum kan varje ny vektor erhållas med hjälp av de två senaste vektorerna. Detta kallas Lanczos-principen.

Tridiagonalisering¶

I ovanstående iteration kan beräkningen för vektor (i+1) skrivas som

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

där

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Med matrisnotation blir detta

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

där

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Egenvärdena erhålls alltså genom att lösa egenvärdesproblemet för den tridiagonala matris som erhålls från ekvation $\eqref{eq:2.3.13}$.

Relaterade ämnen¶

Frekvenssvarsanalys — frekvenssvar med resultat från modalanalys
Analystyper — funktionell översikt över modalanalys