Gå till innehållet

Virtuellt arbete av yttre krafter och sammansättning av det globala ekvationssystemet

I Diskretisering av det virtuella arbetet av inre krafter sammanfördes vänsterledet i den svaga formen till elementets inre kraftvektor \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-metoden) eller \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-metoden). I detta kapitel införs elementets nodala yttre kraftvektor \(\boldsymbol{F}^e\) från de yttre krafternas virtuella arbete. Därefter utförs sammansättning, där elementens nodala storheter ordnas om och summeras efter globala nodnummer, vilket slutligen ger det icke-linjära ekvationssystem i nodförskjutningarna som löses i FrontISTR:s icke-linjära strukturanalys.

Elementuppdelning av de yttre krafternas virtuella arbete

Högerledet i Principen om virtuellt arbete kan delas upp elementvis som de yttre krafternas virtuella arbete, bestående av volymkrafter (kroppskrafter) och föreskrivna ytkrafter på mekaniska randytor. För att skriva förskjutningsinterpolationen som infördes i Formfunktioner och finita element-approximation i matrisform används ett \(d \times d\)-block \(\boldsymbol{N}_\alpha\), där formfunktionen \(N_\alpha^e\) för nod \(\alpha\) ligger på diagonalen, samt \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), som erhålls genom att lägga blocken bredvid varandra. Då gäller \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Insättning i de yttre krafternas virtuella arbete skrivet i referenskonfigurationen ger

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

där elementets nodala yttre kraftvektor har ordnats som \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Därmed kan de yttre krafternas virtuella arbete skrivas i samma form, ”elementnodvektor × testfunktion”, som de inre krafterna (i aktuell konfiguration fås samma form genom substitutionerna \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) och \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Sammansättning av elementens nodala storheter

De nodala storheterna \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) som erhållits för varje element summeras till globala vektorer ordnade efter globala nodnummer. Låt det globala nodnummer som motsvarar det lokala nodnumret \(\alpha\) i element \(\Omega^e\) vara

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Då är en nodal elementstorhet identisk med motsvarande komponent i den globala nodala storheten (till exempel \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Eftersom en nod \(i_g\) i allmänhet delas av flera element definieras mängden av par \((e, \alpha)\) vars globala nodnummer är \(i_g\) som

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Om summan skrivs om med denna mängd som \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) erhålls den nodala inre kraften och den globala inre kraftvektorn över alla \(n_g\) noder:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Här är \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) resultanten av elementens nodala inre krafter som verkar i nod \(i_g\) och är \(\boldsymbol{0}\) när ingen yttre kraft verkar och jämvikt råder. Samma förfarande i UL-metoden ger \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); eftersom deras numeriska värden uppfyller \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) används nedan beteckningen \(\boldsymbol{Q}\) utom där en åtskillnad behövs. Den globala yttre kraftvektorn \(\boldsymbol{F}\) erhålls genom samma summering.

I implementationen konstrueras mängden \(\mathcal{E}(i_g)\) inte explicit; i stället adderas bidragen till motsvarande komponenter inne i elementloopen.

Initiera den globala inre kraftvektorn Q till 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (antal element)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Den globala yttre kraftvektorn \(\boldsymbol{F}\) konstrueras på samma sätt. Operationen att addera och lagra elementens nodala storheter i vektorer och matriser numrerade med globala nodnummer kallas sammansättning. För andra ordningens tensorer som är kopplade till två nodnummer (till exempel styvhetsmatriser) fås samma typ av sammansättning med mängden \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (se Tangentstyvhetsmatris för den konkreta konstruktionen).

Icke-linjära ekvationer som ska lösas

Genom att sätta in de sammansatta inre och yttre krafterna i Principen om virtuellt arbete, och använda att den gäller för en godtycklig testfunktion \(\delta\boldsymbol{u}^n\) som uppfyller de geometriska randvillkoren, fås

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

I inkrementell analys (Ramverk för inkrementell analys) återinförs tidsindexet \(_{n+1}\), medan det upphöjda indexet \(^n\) som anger den globala nodvektorn utelämnas. Ekvationen som ska lösas blir då

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Det diskretiserade randvärdesproblemet att bestämma nodförskjutningen \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) vid tiden \(t_{n+1}\) reduceras därmed till att lösa denna icke-linjära ekvation i förskjutning tillsammans med de geometriska randvillkoren. Linjäriseringen av ekvationen och konstruktionen av tangentstyvhetsmatrisen beskrivs i Tangentstyvhetsmatris, och den iterativa lösningsmetoden i Newton-Raphson-metoden.

Relaterade ämnen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status