Här visas tidsdiskretisering och iterativ lösningsmetod för värmeledningsanalys av fasta kroppar med finita elementmetoden (Finite Element Method). För kontinuumets styrande ekvation och randvillkor, se värmeledningsekvationen.
\[\begin{equation}
K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F
\label{eq:2.4.8}
\end{equation}\]
med
\[\begin{equation}
K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x}
+ k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y}
+ k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV
+ \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds
\label{eq:2.4.9}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
M = \int \rho c N^T N dV
\label{eq:2.4.10}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS
+ \int{hc} T c N^T dS
+ \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS
\label{eq:2.4.11}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
N = (N^1, N^2, \ldots, Ni)
\label{eq:2.4.12}
\end{equation}\]
Här är \(K\), \(M\), \(F\) och \(N\) värmeledningsmatrisen (inklusive konvektions- och strålningstermer från randbidragen), massmatrisen, värmelastvektorn respektive formfunktionsmatrisen. Definitionerna av materialsymbolerna (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) osv.) följer värmeledningsekvationen.
Ekvation\(\eqref{eq:2.4.8}\) är en icke-linjär och transient ekvation.
Vi diskretiserar nu i tiden med bakåt-Eulermetoden. När temperaturen vid tiden \(t=t_0\) är känd beräknas temperaturen vid tiden \(t=t_0+\Delta t\) med följande ekvation.
Vi betraktar nu hur den temperaturvektor som approximativt uppfyller ekvation \(\eqref{eq:2.4.13}\), \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), förbättras för att erhålla den noggrannare lösningen \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).
För detta uttrycks först temperaturvektorn som följer.
Om ekvation \(\eqref{eq:2.4.14}\), ekvation \(\eqref{eq:2.4.15}\) och ekvation \(\eqref{eq:2.4.16}\) sätts in i ekvation \(\eqref{eq:2.4.13}\) och termer av andra och högre ordning försummas, erhålls följande ekvation.
Vid transient analys är valet av tidsinkrementet \(\Delta t\) i allmänhet inte begränsat av dess storlek, eftersom en implicit metod används för tidsdiskretiseringen. Om tidsinkrementet \(\Delta t\) är för stort ökar dock antalet iterationer som krävs för konvergens.
I allmänhet ökar antalet iterationer om tidsinkrementet \(\Delta t\) är för stort. I implementeringen övervakas residualvektorns storlek, och automatisk inkrementstyrning används så att \(\Delta t\) minskas när konvergensen är långsam och \(\Delta t\) ökas när antalet iterationer är litet (→ se Stegstyrning för detaljer).