Sari la conținut

Analiza conducției termice tranzitorii

Această secțiune prezintă discretizarea în timp și metoda iterativă de rezolvare pentru analiza conducției termice în solide prin metoda elementelor finite (FEM). Pentru ecuațiile de guvernare și condițiile la limită ale mediului continuu, consultați Ecuația conducției termice.

Ecuația discretizată (punctul de plecare)

Discretizarea ecuației conducției termice (ecuația conducției termice (gov_he_main)) prin metoda Galerkin conduce la

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

unde

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Aici, \(K\), \(M\), \(F\) și \(N\) sunt, respectiv, matricea de conducție termică (incluzând contribuțiile la limită prin convecție și radiație), matricea de masă, vectorul sarcinii termice și matricea funcțiilor de formă. Definițiile simbolurilor pentru proprietățile materialului (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) etc.) urmează Ecuația conducției termice.

Discretizarea în timp și rezolvarea iterativă

Ecuația \(\eqref{eq:2.4.8}\) este o ecuație neliniară și tranzitorie. Utilizând metoda Euler implicită pentru discretizarea în timp, atunci când temperatura la momentul \(t=t_0\) este cunoscută, temperatura la momentul \(t=t_0+\Delta t\) se calculează cu următoarea ecuație.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Se consideră îmbunătățirea vectorului temperaturii \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), care satisface aproximativ Ecuația \(\eqref{eq:2.4.13}\), pentru a obține soluția mai precisă \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

În acest scop, mai întâi vectorul temperaturii se exprimă după cum urmează.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Produsul dintre matricea de conducție termică și vectorul temperaturii, matricea de masă și termenii asociați sunt aproximați după cum urmează.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Înlocuind Ecuația \(\eqref{eq:2.4.14}\), Ecuația \(\eqref{eq:2.4.15}\) și Ecuația \(\eqref{eq:2.4.16}\) în Ecuația \(\eqref{eq:2.4.13}\) și neglijând termenii de ordinul al doilea și superior, se obține următoarea ecuație.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Matricea coeficienților din membrul stâng este aproximată în continuare folosind ecuația următoare.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Aici, \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) este matricea de rigiditate tangentă.

În final, temperatura la momentul \(t=t_0+\Delta t\) poate fi calculată prin efectuarea de calcule iterative folosind următoarea ecuație.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

În special pentru analiza staționară, calculele iterative se efectuează folosind ecuația următoare.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

În analiza tranzitorie, deoarece pentru discretizarea în timp se utilizează o metodă implicită, alegerea incrementului de timp \(\Delta t\) nu este în general supusă unei restricții privind mărimea sa. Totuși, dacă incrementul de timp \(\Delta t\) este prea mare, crește numărul de iterații necesare pentru convergență. În general, un increment de timp \(\Delta t\) excesiv de mare mărește numărul de iterații. În implementare, controlul automat al incrementului monitorizează mărimea vectorului reziduu, reducând \(\Delta t\) când convergența este lentă și mărind \(\Delta t\) când numărul de iterații este mic (→ consultați Controlul pasului pentru detalii).

Subiecte conexe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status