Sari la conținut

Funcții de formă și aproximarea prin elemente finite

Pentru a trata computațional forma slabă a principiului lucrului virtual, domeniul corpului este împărțit într-un număr finit de elemente, iar coordonatele punctelor materiale, deplasarea și funcția de test din interiorul fiecărui element sunt interpolate din valorile nodale și funcțiile de formă. Derivatele spațiale ale funcțiilor de formă sunt tratate în Derivatele spațiale ale funcțiilor de formă, discretizarea formei slabe în Discretizarea lucrului virtual intern, iar formele concrete ale funcțiilor de formă pentru fiecare tip de element în Sistemul de numerotare a elementelor și biblioteca funcțiilor de formă și secțiunile următoare.

Împărțirea domeniului și sumele integralelor pe elemente

Domeniul \(\Omega_0\) din configurația de referință și domeniul \(\Omega\) din configurația curentă sunt aproximate prin reuniunile elementelor \(\Omega^e_0\), respectiv \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) este numărul elementului, iar frontierele elementelor sunt comune elementelor adiacente.) Astfel, integralele de volum și de suprafață din principiul lucrului virtual se descompun în sume de integrale pe elemente individuale:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Același lucru este valabil pentru configurația curentă prin înlocuirea \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) și \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) În continuare, evaluarea formei slabe se reduce la construirea integralelor element cu element.

Interpolarea folosind valori nodale și funcții de formă (elemente izoparametrice)

Fiecărui element \(\Omega^e_0\) îi sunt atribuite \(n_e\) noduri. Coordonatele în configurația de referință și deplasările nodale ale nodului de element \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) sunt notate cu \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Vectorii nodali ai elementului \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) și \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) sunt formați prin aranjarea acestor valori; pentru elementul \(e\), ei conțin numai componentele nodurilor care alcătuiesc elementul, extrase din vectorii nodali globali \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) este numărul total de noduri).

Folosind coordonatele naturale \(\boldsymbol{r}\), care sunt coordonate locale în interiorul elementului, ca parametri, funcțiile de formă \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) interpolează coordonatele materiale, deplasarea și funcția de test din interiorul elementului utilizând aceleași funcții de formă (element izoparametric și metoda Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Funcțiile de formă sunt construite astfel încât să satisfacă următoarele două proprietăți, iar geometria elementului este aleasă astfel încât aplicația \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) de la coordonatele naturale la coordonatele materiale să fie biunivocă în interiorul elementului:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) este punctul în coordonate naturale corespunzător nodului \(\alpha\), iar \(\delta_{\alpha\beta}\) este delta Kronecker.) Prima ecuație garantează reproducerea translației de corp rigid, iar a doua garantează că valoarea interpolată coincide cu valoarea nodală în fiecare nod. Formele concrete ale lui \(n_e\) și \(N_\alpha^e\) pentru fiecare tip de element sunt date în Sistemul de numerotare a elementelor și biblioteca funcțiilor de formă și secțiunile următoare. Pentru a evita o notație prea încărcată, dependența de tipul elementului este reprezentată prin indicele superior \(e\) specific elementului.

Cu regulile de interpolare de mai sus, integrandul formei slabe poate fi exprimat exclusiv în funcție de valorile nodale ale elementului \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) și \(N_\alpha^e\). În schimb, deformația specifică este derivată din deplasarea interpolată și relația deformație–deplasare, iar tensiunea este derivată din această deformație și din legea constitutivă a materialului; aceste mărimi nu sunt interpolate direct din valorile nodale. Ele sunt evaluate în punctele de integrare din interiorul elementului (Integrare numerică).

Regula de ordonare a vectorilor nodali globali

Mărimile fizice atribuite nodurilor sunt aranjate în vectorul nodal global în ordine crescătoare după numărul nodului → gradul de libertate. Dacă, în nodul \(\alpha\), componenta gradului de libertate \(i\) este notată cu \(u_{i\alpha}\), atunci în trei dimensiuni (\(i=1,2,3\)), respectiv în două dimensiuni (\(i=1,2\)),

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Coordonatele \(\boldsymbol{X}^n\) și funcția de test \(\delta\boldsymbol{u}^n\) urmează aceeași ordine. În continuare, deducerile în formă matricială și vectorială sunt scrise folosind cazul tridimensional ca reprezentativ.

Subiecte conexe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status