Sari la conținut

Funcții de formă pentru elemente solide 3D

Acest capitol sintetizează sistemele de coordonate naturale și formele explicite ale funcțiilor de formă \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) introduse în Funcții de formă și aproximarea prin elemente finite pentru elementele solide tridimensionale utilizate de FrontISTR în analiza mediilor continue. Cele șase tipuri de elemente sunt tetraedre de ordinul întâi/al doilea (341/342), prisme triunghiulare de ordinul întâi/al doilea (351/352) și hexaedre de ordinul întâi/al doilea (361/362). Pentru ordinea nodurilor și numerele fețelor în formatul de plasă HEC-MW, consultați Biblioteca de elemente din referința funcțiilor.

Procedura de construire a integrării pe elemente folosind aceste funcții de formă și determinantul Jacobianului este descrisă în Integrare numerică. Formulările B-bar, F-bar și incompatibile pentru 361, precum și funcțiile de formă pentru elementele de grindă și shell, sunt tratate în Formulări avansate de element.

Sisteme de coordonate naturale și ordinea internă a nodurilor

Funcțiile de formă sunt definite pe coordonatele naturale \(\boldsymbol{r}\) ale fiecărui element. Elementele solide tridimensionale utilizează următoarele trei sisteme de coordonate naturale, în funcție de forma elementului.

  • Hexaedre (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedre (341/342): coordonate volumice \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), cu \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) și \(L_i \ge 0\). Luând \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) drept variabile independente, \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Prisme triunghiulare (351/352): coordonatele volumice \((\xi, \eta)\) ale triunghiului de bază (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) sunt combinate cu coordonata axială \(\zeta \in [-1, 1]\), rezultând \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Mărimea auxiliară \(a = 1 - \xi - \eta\) este utilizată ca a treia coordonată volumică pe bază.

Pentru elementele de ordinul întâi, numerotarea nodurilor elementului este aceeași în formatul de intrare HEC-MW și în formatul intern. Pentru elementele de ordinul al doilea, convențiile de ordonare a nodurilor intermediare de pe muchii diferă. FrontISTR acceptă ca intrare formatul HEC-MW (nodurile de colț sunt enumerate în jurul elementului, urmate de nodurile intermediare în ordinea muchiilor 1-2, 2-3, …), în timp ce funcțiile de formă din biblioteca de elemente sunt implementate presupunând o altă ordine a nodurilor.

Diferența dintre cele două formate este rezolvată de hecmw2fstr_mesh_conv, apelat imediat după citirea plasei, care reordonează nodurile pentru fiecare element. Dintre elementele solide tridimensionale, sunt convertite următoarele două tipuri.

Tip de element Tabel de conversie Descriere
342 (tetraedru de ordinul al doilea) Table342 Reordonează cele 10 noduri în \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (prismă triunghiulară de ordinul al doilea) Table352 Reordonează cele 15 noduri în \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Deoarece reordonarea se efectuează direct asupra tabloului care stochează conectivitatea elementelor, toate apelurile ulterioare către biblioteca de elemente utilizează ordinea internă a nodurilor FrontISTR. Pentru elementul hexaedric de ordinul al doilea 362 nu există tabel de conversie, deoarece ordinea nodurilor intermediare în intrarea HEC-MW și în formatul intern FrontISTR este aceeași. La ieșirea rezultatelor, conversia inversă fstr2hecmw_mesh_conv restabilește ordinea nodurilor HEC-MW înainte de scriere, astfel încât utilizatorii trebuie să cunoască numai formatul HEC-MW atât pentru intrare, cât și pentru ieșire. Numerele nodurilor din funcțiile de formă de mai jos utilizează formatul intern FrontISTR după conversie.

Funcții de formă pentru elemente de ordinul întâi

Pentru elementul tetraedric de ordinul întâi (341), funcțiile de formă sunt chiar coordonatele volumice:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Pentru elementul prismă triunghiulară de ordinul întâi (351), funcțiile de formă sunt produse ale funcțiilor de formă liniare ale triunghiului de bază (\(a, \xi, \eta\)) și ale funcțiilor de formă axiale liniare (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Pentru elementul hexaedric de ordinul întâi (361), funcțiile de formă sunt produse tensoriale ale funcțiilor de formă liniare în cele trei direcții de coordonate:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Aici \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) sunt valorile coordonatelor naturale ale nodului \(\alpha\) (fiecare componentă este \(\pm 1\)).

Funcții de formă pentru elemente de ordinul al doilea

Pentru elementul tetraedric de ordinul al doilea (342), funcțiile de formă sunt împărțite între patru noduri de colț și șase noduri intermediare:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Nodurile intermediare 5–10 corespund, în ordine, mijloacelor muchiilor 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 și 3-4.

Elementul prismă triunghiulară de ordinul al doilea (352) este alcătuit din șase noduri de colț, șase noduri intermediare pe fețele triunghiulare și trei noduri intermediare pe muchiile axiale:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Nodurile intermediare 7–9 corespund mijloacelor muchiilor triunghiului inferior (\(\zeta = -1\)), nodurile 10–12 mijloacelor muchiilor triunghiului superior (\(\zeta = +1\)), iar nodurile 13–15 mijloacelor muchiilor axiale.

Elementul hexaedric de ordinul al doilea (362) este un element cu 20 de noduri din familia Serendipity. Fie valorile coordonatelor naturale ale nodului \(\alpha\) date de \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Pentru nodurile de colț (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), fiecare componentă fiind \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Pentru nodurile intermediare (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), una dintre cele trei coordonate naturale fiind egală cu \(0\), iar celelalte două cu \(\pm 1\)), nodurile cu \(\xi_\alpha = 0\) (muchii orientate în direcția \(\xi\)) au

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Nodurile intermediare a căror direcție de muchie este axa \(\eta\) sau \(\zeta\) sunt date analog, coordonata naturală corespunzătoare fiind eliminată prin termenul pătratic.

Subiecte conexe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status