Sari la conținut

Elastoplasticitate

Acest capitol descrie cadrul legii constitutive elastoplastice adoptate de FrontISTR. Pentru detalii privind alegerea și specificațiile de intrare, consultați 03_material din secțiunea Funcții.

Fenomenul (deformație plastică)

TBD (va fi redactat în etapa următoare).

Cadrul legii constitutive

FrontISTR adoptă o ecuație constitutivă elastoplastică bazată pe o regulă de curgere asociată. Ecuația constitutivă exprimă relația dintre rata Jaumann a tensiunii Kirchhoff și tensorul vitezei de deformație, iar analiza deformației utilizează formularea Lagrangiană actualizată.

Se presupune că starea de curgere a unui material elastoplastic este dată după cum urmează.

Condiția inițială de curgere:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Condiția de curgere ulterioară:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

unde

  • \(F\): funcția de curgere
  • \(\sigma_{y_0}\): tensiunea inițială de curgere
  • \(\sigma_y\): tensiunea de curgere ulterioară
  • \(\sigma\): tensorul tensiunii
  • \(e\): tensorul deformației infinitezimale
  • \(e^p\): tensorul deformației plastice
  • \(\overline{e}^p\): deformația plastică echivalentă

Se presupune că relația tensiune de curgere–deformație plastică echivalentă coincide cu relația tensiune–deformație plastică într-o stare uniaxială.

Relația tensiune–deformație plastică într-o stare uniaxială

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

unde \(H'\) este modulul de ecruisare.

Relația tensiune echivalentă–deformație plastică echivalentă

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

În general, funcția de curgere ulterioară este o funcție de temperatură și de lucrul deformației plastice, dar pentru simplitate aici se presupune că este o funcție numai de deformația plastică echivalentă \(\overline{e}^p\). Pe măsură ce deformația plastică evoluează, trebuie să se mențină \(F = 0\) și, prin urmare, trebuie satisfăcută următoarea ecuație.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Aici, \(\dot{F}\) reprezintă derivata în timp a lui \(F\). În continuare, derivata în timp a unei mărimi \(A\) este notată prin \(\dot{A}\).

Se presupune existența unui potențial plastic \(\Theta\), iar viteza deformației plastice este exprimată prin următoarea ecuație.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Aici, \(\dot{\lambda}\) este un coeficient.

În plus, presupunând că potențialul plastic \(\Theta\) este egal cu funcția de curgere \(F\), se utilizează următoarea regulă de curgere asociată.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Înlocuind această ecuație în condiția de consistență se obține următoarea ecuație.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Aici, \(D\) este matricea de elasticitate, iar

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Relația elastoplastică tensiune–deformație poate fi scrisă după cum urmează.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Odată cunoscută funcția de curgere \(F\) a materialului elastoplastic, ecuația sa constitutivă se obține din această expresie.

Funcții de curgere

Funcțiile de curgere elastoplastice adoptate de FrontISTR sunt enumerate mai jos.

Funcția de curgere von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Aici, \(J_2\) este al doilea invariant al tensorului deviatoric al tensiunii.

Funcția de curgere Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Aici, \(\sigma_1, \sigma_3\) sunt tensiunile principale maximă și minimă, \(c\) este coeziunea, iar \(\phi\) este unghiul de frecare internă.

Funcția de curgere Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Aici, constantele de material \(\alpha\) și \(\sigma_y\) sunt calculate din coeziunea materialului și unghiul de frecare după cum urmează.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Subiecte conexe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status