Sari la conținut

Metode de analiză dinamică

Această secțiune descrie metodele de analiză pentru probleme dinamice folosind integrarea directă în timp. Formulările metodelor implicite și explicite sunt prezentate mai jos.

Discretizarea ecuației de mișcare (cadru comun)

De completat (va fi finalizat în etapa următoare).

Metoda implicită (metoda Newmark-β)

Pentru problemele dinamice se aplică o metodă de integrare directă în timp pentru rezolvarea ecuației de mișcare prezentate mai jos.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Aici, \(M\) este matricea de masă, \(C\) este matricea de amortizare, \(Q\) este vectorul forțelor interne, iar \(F\) este vectorul forțelor externe. Matricea de masă este presupusă constantă indiferent de deformație, chiar și în analiza neliniară.

Variațiile deplasării, vitezei și accelerației pe incrementul de timp \(\Delta t\) sunt aproximate folosind metoda Newmark-\(\beta\), așa cum se arată în Ecuația \(\eqref{eq:2.5.2}\) și Ecuația \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Aici, \(\gamma\) și \(\beta\) sunt parametrii metodei Newmark-\(\beta\).

După cum este bine cunoscut, următoarele valori ale lui \(\gamma\) și \(\beta\) corespund, respectiv, metodei accelerației liniare și regulii trapezului.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (metoda accelerației liniare)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (regula trapezului)

Prin înlocuirea Ecuației \(\eqref{eq:2.5.2}\) și Ecuației \(\eqref{eq:2.5.3}\) în Ecuația \(\eqref{eq:2.5.1}\) se obține următoarea ecuație.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

În particular, pentru o problemă liniară, \(K_L\) este matricea de rigiditate liniară și \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Prin înlocuirea acestei relații în ecuația de mai sus se obține următoarea ecuație.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

În pozițiile unde accelerația este prescrisă ca o condiție geometrică la limită, deplasarea se obține din Ecuația \(\eqref{eq:2.5.2}\) după cum urmează.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

În mod similar, în pozițiile unde viteza este prescrisă, deplasarea se obține din Ecuația \(\eqref{eq:2.5.6}\) după cum urmează.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Aici, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) este deplasarea nodală la momentul \(t+\Delta{t}\), iar \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) este viteza nodală la momentul \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) este accelerația nodală la momentul \(t+\Delta{t}\), \(i\) este numărul gradului de libertate nodal, iar \(s\) este numărul nodului. Termenii de masă și amortizare sunt tratați după cum urmează.

Tratarea termenului de masă

În principiu, matricea de masă este tratată ca matrice de masă concentrată.

Tratarea termenului de amortizare

Termenul de amortizare este tratat drept amortizare Rayleigh exprimată prin Ecuația \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Aici, \(R_m\) și \(R_k\) sunt parametrii amortizării Rayleigh.

Valorile \(R_m\) și \(R_k\) specificate pe cardul !DYNAMIC sunt aplicate uniform întregului model. Pentru a atribui valori diferite ale \(R_m\) și \(R_k\) fiecărui material, specificați cardul !DAMPING în blocul !MATERIAL al materialului respectiv. Pentru elementele aparținând unui material pentru care este specificat !DAMPING, matricea de amortizare a elementului este calculată ca \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) din matricea de masă a elementului \(M_i\) și matricea de rigiditate tangentă \(K_i\), apoi este asamblată în matricea globală de amortizare. Această funcție este valabilă numai pentru metoda implicită.

Metoda explicită (metoda diferențelor centrale)

Metoda explicită se bazează pe ecuația de mișcare la momentul t prezentată mai jos.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Exprimând deplasările la momentele \(t + \Delta t\) și \(t - \Delta t\) prin dezvoltări Taylor în jurul momentului \(t\) și păstrând termenii până la ordinul al doilea în \(\Delta t\), se obțin următoarele ecuații.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Calculând diferența și suma Ecuației \(\eqref{eq:2.5.3}\) și Ecuației \(\eqref{eq:2.5.4}\) se obțin următoarele ecuații.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Prin înlocuirea Ecuației \(\eqref{eq:2.5.12}\) și Ecuației \(\eqref{eq:2.5.13}\) în Ecuația \(\eqref{eq:2.5.9}\) se obține următoarea ecuație.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

În particular, pentru o problemă liniară, \(Q(t) = K_L U(t)\), iar ecuația de mai sus devine

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Dacă matricea de masă \(M\) este considerată o matrice de masă concentrată, iar matricea de amortizare este o matrice de amortizare proporțională \(C = R_m M\), Ecuația \(\eqref{eq:2.5.15}\) nu necesită rezolvarea unui sistem de ecuații simultane.

Prin urmare, din Ecuația \(\eqref{eq:2.5.15}\), \(U(t+\Delta t)\) poate fi obținut prin următoarea ecuație.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Subiecte conexe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status