Sari la conținut

Principiul lucrului virtual

Pornind de la ecuația de echilibru și condițiile de frontieră deduse în Tensiune și legi de conservare, se deduce principiul lucrului virtual, care reprezintă forma slabă a problemei cu valori la frontieră din mecanica mediilor continue. Discretizarea prin metoda elementelor finite pornește de la această formă slabă. Acest capitol prezintă atât forma în configurația curentă (exprimată folosind tensiunea Cauchy și partea liniară a deformației Almansi), cât și forma în configurația de referință (exprimată folosind tensiunea a doua Piola-Kirchhoff și deformația Green-Lagrange), demonstrează echivalența lor și apoi confirmă reducerea la cazul deformațiilor mici.

Ecuația de echilibru și condițiile de frontieră

Fie \(\boldsymbol{g}\) forța de volum care acționează asupra mediului continuu pe unitatea de masă și se consideră un corp care ocupă domeniul \(\Omega\) în configurația curentă. Frontiera \(\Gamma\) este împărțită în frontiera geometrică \(\Gamma_B\), pe care deplasarea este prescrisă ca \(\bar{\boldsymbol{u}}\), și frontiera mecanică \(\Gamma_t\), pe care tracțiunea este prescrisă ca \(\bar{\boldsymbol{t}}\), cu \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) și \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Pentru o problemă statică, ecuația de echilibru se obține prin omiterea termenului de inerție din legea conservării impulsului prezentată în Tensiune și legi de conservare:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{în} \ \Omega \]

Condițiile de frontieră sunt

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{pe} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{pe} \ \Gamma_B \]

În continuare, principiul lucrului virtual este dedus ca formă slabă a ecuației de echilibru și a condiției mecanice de frontieră \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Condiția geometrică de frontieră \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) este introdusă prin alegerea funcției de test.

Forma slabă în configurația curentă

În forma slabă, spațiul admisibil pentru deplasarea necunoscută și, respectiv, spațiul funcțiilor de test sunt definite astfel:

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{pe} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{pe} \ \Gamma_B \} \]

Aici, \(d\) este dimensiunea spațială, \(H^1(\Omega)\) este spațiul Sobolev al funcțiilor integrabile în pătrat împreună cu primele lor derivate slabe, iar \(\delta\) denotă variația. În reprezentarea în configurația curentă, \(\Omega\) este configurația deformată; într-o rezolvare numerică efectivă, aceasta este raportată la configurația de referință sau la o configurație intermediară cunoscută.

Înmulțind ecuația de echilibru cu funcția de pondere \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) și aplicând teorema divergenței Gauss împreună cu condiția mecanică de frontieră, se obține următorul principiu al lucrului virtual în configurația curentă.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Aici, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) este partea liniară a tensorului deformației Almansi, definită prin

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Variația sa este \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Astfel, se caută \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) astfel încât ecuația lucrului virtual să fie satisfăcută pentru orice \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Membrul stâng reprezintă lucrul virtual al forțelor interne, iar membrul drept reprezintă lucrul virtual al forțelor externe datorate tracțiunii prescrise și forței de volum.

Deoarece această ecuație este scrisă pe domeniul deformat (configurația curentă), procedura efectivă de rezolvare selectează din nou configurația inițială \(\Omega_0\) (configurația de referință) sau o configurație intermediară cunoscută drept configurație de referință, rescrie ecuația în formă incrementală și apoi o rezolvă. Pentru alegerea concretă a configurației de referință (Total Lagrange / Updated Lagrange) și descompunerea incrementală, consultați Cadrul analizei incrementale.

Forma slabă în configurația inițială

Se consideră un corp care ocupă domeniul \(\Omega_0\) în configurația de referință, cu frontiera \(\Gamma_0\) împărțită în \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Raportarea reprezentării din configurația curentă la configurația de referință conduce la perechea conjugată tensiune–deformație formată din tensiunea a doua Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) și deformația Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). Principiul lucrului virtual în configurația inițială este atunci

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Aici, \(\rho_0\) este densitatea de masă în configurația de referință, iar prin relația de conservare a masei \(\rho_0 = J\rho\), această expresie este echivalentă cu reprezentarea forței de volum în configurația curentă.

Echivalența reprezentărilor în configurația curentă și inițială

Lucrul virtual al forțelor interne din cele două reprezentări coincide prin transformarea dată de gradientul de deformare \(\boldsymbol{F}\) și raportul de volum \(J = \det \boldsymbol{F}\); și anume,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Termenii forțelor externe sunt de asemenea echivalenți prin conservarea masei și transformarea tracțiunii. Prin urmare, ecuația lucrului virtual în configurația curentă și cea în configurația inițială exprimă același principiu în configurații diferite. O metodă de rezolvare raportată la configurația de referință corespunde metodei Total Lagrange, iar o metodă raportată la configurația curentă (configurația convergentă imediat precedentă) corespunde metodei Updated Lagrange.

Reducerea la deformații mici

În ipoteza deformațiilor mici, \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) și \(J \approx 1\), distincția dintre configurația curentă și cea de referință dispare, tensiunea a doua PK coincide cu tensiunea Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), iar atât deformația Green-Lagrange, cât și partea liniară a deformației Almansi se reduc la deformația infinitezimală \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Principiul lucrului virtual se reduce atunci la forma slabă exprimată în funcție de tensiunea Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) și deformația infinitezimală \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{pe} \ \Gamma_B \]

Aceasta este forma slabă utilizată direct pentru discretizare în analiza statică liniar-elastică cu deformații mici (Analiză statică liniar-elastică (introducere și anexă) pornește de la această formă și prezintă construirea rigidității elementului \(\boldsymbol{K}^e\) prin asamblarea ecuației globale \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Prin substituirea legii constitutive liniar-elastice \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) și scrierea lui \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) în notație Voigt, forma slabă devine

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

care are această formă.

Subiecte conexe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status