Sari la conținut

Derivatele spațiale ale funcțiilor de formă

Funcțiile de formă \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) introduse în Funcții de formă și aproximarea prin elemente finite sunt date ca funcții ale coordonatelor naturale \(\boldsymbol{r}\), care sunt coordonatele locale ale unui element. Pe de altă parte, prin relația deformație-deplasare, integranzii din forma slabă conțin derivate parțiale în raport cu coordonatele fizice (configurația de referință \(\boldsymbol{X}\) sau configurația curentă \(\boldsymbol{x}\)), și anume \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) sau \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Această secțiune organizează procedura de calcul al acestor derivate spațiale ale funcțiilor de formă din coordonatele nodale ale elementului și derivatele în raport cu coordonatele naturale.

Exprimarea derivatelor spațiale prin regula lanțului

Aplicând regula lanțului formulei de interpolare \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (secțiunea precedentă) și utilizând matricea Jacobiană \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) a transformării de la coordonatele naturale la coordonatele fizice, se obține

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Aici, \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) și \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) sunt matrice în care rândul \(\alpha\) reprezintă vectorul derivatelor parțiale pentru nodul \(\alpha\); fiecare este o matrice \(n_e \times 3\).

Construirea matricei Jacobiene

Derivând formula de interpolare în raport cu \(\boldsymbol{r}\) se obține

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Astfel, matricea Jacobiană poate fi construită direct din coordonatele nodale ale elementului \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) și derivatele în coordonate naturale \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Derivatele în coordonate naturale sunt determinate de forma funcțională a funcțiilor de formă și sunt implementate în prealabil pentru fiecare tip de element.

Determinantul matricei Jacobiene \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) este utilizat în integrarea numerică pentru transformarea elementului de volum ca \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Dacă determinantul devine \(0\), elementul este degenerat și calculul eșuează.

Fluxul de calcul

Din dezvoltarea de mai sus, calculul derivatelor spațiale \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) poate fi împărțit în următoarele patru etape.

  1. Calculul derivatelor în coordonate naturale: Folosind ca intrare tipul elementului și coordonatele naturale \(\boldsymbol{r}\) ale punctului de evaluare, calculați matricea derivatelor în coordonate naturale \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Deoarece forma funcțională a funcțiilor de formă diferă în funcție de tipul elementului, procesarea se ramifică după tipul elementului.
  2. Calculul matricei Jacobiene: Din coordonatele nodale ale elementului \(\boldsymbol{X}^e\) și \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), asamblați matricea Jacobiană \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) folosind ecuația din secțiunea precedentă.
  3. Calculul matricei inverse și al determinantului: Calculați inversa \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) și determinantul matricei Jacobiene. Determinantul este utilizat la ponderarea integrării numerice.
  4. Calculul derivatelor spațiale: Din \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) și \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\), obțineți derivatele spațiale \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) ca produs al acestora.

Aceste patru etape se ramifică în funcție de tipul elementului și dimensiunea spațială (două sau trei dimensiuni), însă fluxul general este comun.

Tratarea comună a configurației de referință și a configurației curente

Procedura de mai sus poate fi aplicată și prin simpla înlocuire a \(\boldsymbol{X}^e\) cu coordonatele nodale curente \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), pentru a obține derivatele spațiale \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) în configurația curentă. Astfel, aceeași procedură poate fi utilizată în comun de formulările Total Lagrange și Updated Lagrange, schimbând numai coordonatele nodale de intrare.

Subiecte conexe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status