Sari la conținut

Lucrul virtual al forțelor externe și asamblarea ecuațiilor globale

În Discretizarea lucrului virtual al forțelor interne, membrul stâng al formei slabe a fost redus la vectorul forțelor interne nodale ale elementului \(\boldsymbol{q}^e\) (metoda UL) sau \(\boldsymbol{Q}^e\) (metoda TL). În acest capitol se introduce vectorul forțelor externe nodale ale elementului \(\boldsymbol{F}^e\) pornind de la lucrul virtual al forțelor externe, apoi se aplică operația de asamblare, care reordonează și însumează mărimile nodale ale elementelor după numărul global al nodului, obținându-se în final sistemul neliniar de ecuații în deplasările nodale rezolvat de analiza structurală neliniară FrontISTR.

Descompunerea pe elemente a lucrului virtual al forțelor externe

Membrul drept al Principiului lucrului virtual poate fi descompus pe elemente în lucrul virtual al forțelor externe, format din forțe de volum și tracțiuni de suprafață prescrise pe frontierele mecanice. Pentru a scrie în formă matricială interpolarea deplasării introdusă în Funcții de formă și aproximarea cu elemente finite, se definește blocul \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\), având funcția de formă \(N_\alpha^e\) a nodului \(\alpha\) pe diagonală, și se formează \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), astfel încât \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Prin substituirea acesteia în lucrul virtual al forțelor externe scris în configurația de referință se obține

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

unde vectorul forțelor externe nodale ale elementului este ordonat ca \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Astfel, lucrul virtual al forțelor externe se reduce la aceeași formă „vector nodal al elementului × funcție de test” ca membrul forțelor interne (dacă este scris în configurația curentă, se obține aceeași formă prin substituțiile \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) și \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Asamblarea mărimilor nodale ale elementelor

Mărimile nodale \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) obținute pentru fiecare element sunt acumulate în vectori globali ordonați după numărul global al nodului. Pentru nodul local \(\alpha\) al elementului \(\Omega^e\), numărul global corespunzător al nodului se notează

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Atunci, o mărime nodală a elementului este identică cu componenta corespunzătoare a mărimii nodale globale (de exemplu, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Deoarece un nod \(i_g\) este în general comun mai multor elemente, se definește mulțimea perechilor \((e, \alpha)\) al căror număr global de nod este \(i_g\) astfel:

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Folosind această mulțime pentru a rescrie suma ca \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), se obțin forța internă nodală și vectorul global al forțelor interne pentru toate cele \(n_g\) noduri:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Aici \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) reprezintă rezultanta forțelor interne nodale ale elementelor care acționează în nodul \(i_g\) și este \(\boldsymbol{0}\) dacă nu acționează nicio forță externă și este satisfăcut echilibrul. Aceeași procedură în metoda UL furnizează \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); deoarece valorile lor numerice satisfac \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), în continuare se utilizează notația \(\boldsymbol{Q}\), cu excepția cazurilor în care este necesară distincția. Vectorul global al forțelor externe \(\boldsymbol{F}\) se obține prin aceeași acumulare.

În implementare, mulțimea \(\mathcal{E}(i_g)\) nu este construită explicit; în schimb, contribuțiile sunt adăugate componentelor corespunzătoare în bucla pe elemente.

Inițializați vectorul global al forțelor interne Q cu 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (numărul de elemente)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Vectorul global al forțelor externe \(\boldsymbol{F}\) este construit prin aceeași procedură. Operația de adăugare și stocare a mărimilor nodale ale elementelor în vectori și matrice numerotate după numărul global al nodului se numește asamblare (assemble). Pentru tensorii de ordinul al doilea asociați cu două numere de nod (de exemplu matricea de rigiditate), același tip de asamblare se obține utilizând mulțimea \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (pentru construcția concretă, consultați Matricea de rigiditate tangentă).

Ecuațiile neliniare de rezolvat

Prin substituirea forțelor interne și externe asamblate în Principiul lucrului virtual și folosind faptul că acesta este valabil pentru orice funcție de test \(\delta\boldsymbol{u}^n\) care satisface condițiile geometrice de frontieră, se obține

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

În contextul analizei incrementale (Cadrul analizei incrementale), se reintroduce indicele temporal \(_{n+1}\) și se omite indicele superior \(^n\) care indică vectorul nodal global. Ecuația de rezolvat devine astfel

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Astfel, problema discretizată cu valori la frontieră de determinare a deplasării nodale \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) la momentul \(t_{n+1}\) se reduce la rezolvarea acestei ecuații neliniare în deplasări împreună cu condițiile geometrice de frontieră. Liniarizarea ecuației și construirea matricei de rigiditate tangente sunt descrise în Matricea de rigiditate tangentă, iar metoda iterativă de rezolvare în Metoda Newton-Raphson.

Subiecte conexe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status