Přeskočit obsah

Metody dynamické analýzy

Tato část popisuje metody analýzy dynamických úloh využívající přímou časovou integraci. Níže jsou uvedeny formulace implicitní a explicitní metody.

Diskretizace pohybové rovnice (společný rámec)

TBD (bude dopracováno v další fázi).

Implicitní metoda (Newmarkova-β metoda)

Pro dynamické úlohy se k řešení níže uvedené pohybové rovnice používá metoda přímé časové integrace.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Zde je \(M\) hmotnostní matice, \(C\) matice tlumení, \(Q\) vektor vnitřních sil a \(F\) vektor vnějších sil. Předpokládá se, že hmotnostní matice zůstává nezávisle na deformaci konstantní i v nelineární analýze.

Změny posunutí, rychlosti a zrychlení během časového přírůstku \(\Delta t\) jsou aproximovány Newmarkovou-\(\beta\) metodou, jak je uvedeno v rovnici \(\eqref{eq:2.5.2}\) a rovnici \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Zde jsou \(\gamma\) a \(\beta\) parametry Newmarkovy-\(\beta\) metody.

Jak je dobře známo, následující hodnoty \(\gamma\) a \(\beta\) odpovídají metodě lineárního zrychlení a lichoběžníkovému pravidlu.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (metoda lineárního zrychlení)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (lichoběžníkové pravidlo)

Dosazením rovnice \(\eqref{eq:2.5.2}\) a rovnice \(\eqref{eq:2.5.3}\) do rovnice \(\eqref{eq:2.5.1}\) získáme následující rovnici.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Zejména pro lineární úlohu je \(K_L\) lineární matice tuhosti a \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Dosazením tohoto vztahu do výše uvedené rovnice získáme následující rovnici.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

V místech, kde je zrychlení předepsáno jako geometrická okrajová podmínka, se posunutí získá z rovnice \(\eqref{eq:2.5.2}\) následovně.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Podobně v místech, kde je předepsána rychlost, se posunutí získá z rovnice \(\eqref{eq:2.5.6}\) následovně.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Zde \(u_{is}(t+\Delta{t})\) je uzlové posunutí v čase \(t+\Delta{t}\) a \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) je uzlová rychlost v čase \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) je uzlové zrychlení v čase \(t+\Delta{t}\), \(i\) je číslo stupně volnosti uzlu a \(s\) je číslo uzlu. Hmotnostní a tlumicí členy se zpracovávají následovně.

Zpracování hmotnostního členu

Hmotnostní matice se zásadně považuje za soustředěnou hmotnostní matici.

Zpracování tlumicího členu

Tlumicí člen se zpracovává jako Rayleighovo tlumení vyjádřené rovnicí \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Zde jsou \(R_m\) a \(R_k\) parametry Rayleighova tlumení.

Hodnoty \(R_m\) a \(R_k\) zadané kartou !DYNAMIC se jednotně použijí na celý model. Chcete-li pro jednotlivé materiály zadat odlišné hodnoty \(R_m\), \(R_k\), zadejte v bloku !MATERIAL příslušného materiálu kartu !DAMPING. U prvků patřících k materiálu se zadaným !DAMPING se z hmotnostní matice prvku \(M_i\) a tečné matice tuhosti \(K_i\) vypočítá matice tlumení prvku jako \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) a sestaví se do globální matice tlumení. Tato funkce je účinná pouze pro implicitní metodu.

Explicitní metoda (metoda centrálních diferencí)

Explicitní metoda vychází z níže uvedené pohybové rovnice v čase t.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Vyjádřením posunutí v časech \(t + \Delta t\) a \(t - \Delta t\) pomocí Taylorových rozvojů kolem času \(t\) a ponecháním členů do druhého řádu v \(\Delta t\) získáme následující rovnice.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Odečtením a sečtením rovnice \(\eqref{eq:2.5.3}\) a rovnice \(\eqref{eq:2.5.4}\) získáme následující rovnice.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Dosazením rovnice \(\eqref{eq:2.5.12}\) a rovnice \(\eqref{eq:2.5.13}\) do rovnice \(\eqref{eq:2.5.9}\) získáme následující rovnici.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Zejména pro lineární úlohu platí \(Q(t) = K_L U(t)\) a výše uvedená rovnice má tvar

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Je-li hmotnostní matice \(M\) uvažována jako soustředěná hmotnostní matice a matice tlumení jako matice proporcionálního tlumení \(C = R_m M\), rovnice \(\eqref{eq:2.5.15}\) nevyžaduje řešení soustavy rovnic.

Proto lze z rovnice \(\eqref{eq:2.5.15}\) určit \(U(t+\Delta t)\) následující rovnicí.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Související témata

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status