Modální analýza¶

Zobecněný problém vlastních čísel¶

Při analýze volného kmitání kontinua se oblast prostorově diskretizuje a modeluje jako soustava soustředěných hmot s více stupni volnosti, jak je znázorněno na obrázku 2.3.1. Pro problém netlumeného volného kmitání má řídicí rovnice (pohybová rovnice) následující tvar.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Zde je $u$ zobecněný vektor posunutí, $M$ matice hmotnosti a $K$ matice tuhosti. Označme vlastní kruhovou frekvenci jako $\omega$, $a$, $b$ a $c$ jako libovolné konstanty a $x$ jako vektor. Definujme funkci

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Druhá derivace tohoto výrazu je

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Dosazením těchto výrazů do rovnice $\eqref{eq:2.3.1}$ dostaneme

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

tedy

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Pokud tedy rovnici $\eqref{eq:2.3.5}$ splňuje koeficient $\lambda = \omega^2$ a lze nalézt vektor $x$, pak je funkce $u(t)$ řešením rovnice $\eqref{eq:2.3.1}$.

Koeficient $\lambda$ se nazývá vlastní číslo a vektor $x$ vlastní vektor. Úloha určit je z rovnice $\eqref{eq:2.3.1}$ se nazývá zobecněný problém vlastních čísel.

Příklad soustavy s více stupni volnosti při netlumeném volném kmitání

Obrázek 2.3.1 Příklad soustavy s více stupni volnosti při netlumeném volném kmitání

Vlastnosti matic a předpoklady¶

Pro zobecněný problém vlastních čísel $K x = \lambda M x$ získaný v předchozí části předpokládá tato příručka následující vlastnosti matic. Tyto předpoklady tvoří základ konvergence a rozsahu použitelnosti níže popsané posunuté inverzní iterace a Lanczosovy metody. U komplexní matice je transpozice komplexně sdružená, zatímco reálná matice je symetrická. Konkrétně pro matici $K$, je-li její složka $ij$ označena $k_{ij}$ a komplexně sdružené číslo k $k$ označeno $\bar{k}$, platí

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

následující vztah.

V této příručce se předpokládá, že matice jsou symetrické a pozitivně definitní. Pozitivní definitnost znamená, že všechna vlastní čísla jsou kladná; ekvivalentně matice vždy splňuje níže uvedenou rovnici $\eqref{eq:2.3.7}$.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Posunutá inverzní iterace¶

Při strukturální analýze metodou konečných prvků nejsou v praxi obecně zapotřebí všechna vlastní čísla; v mnoha případech postačuje pouze několik vlastních čísel nižších řádů. HEC-MW je určen pro rozsáhlé úlohy, v nichž jsou matice velké a velmi řídké (obsahují mnoho nulových prvků). S ohledem na tuto vlastnost je proto důležité efektivně počítat vlastní čísla nízkých módů.

Nechť $\sigma$ je dolní mez vlastních čísel. Rovnici $\eqref{eq:2.3.5}$ lze potom převést do následujícího matematicky ekvivalentního tvaru.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Tato transformace má pro výpočet následující užitečné vlastnosti.

Pořadí módů se obrátí.
Vlastní čísla v blízkosti $\rho$ se zobrazí na největší hodnoty.

Při skutečném výpočtu se často nejprve získávají největší vlastní čísla. Proto se hlavní konvergenční výpočet namísto rovnice $\eqref{eq:2.3.5}$ aplikuje na rovnici $\eqref{eq:2.3.8}$ s cílem nejprve získat vlastní čísla v blízkosti $\rho$. Tato technika se nazývá posunutá inverzní iterace.

Lanczosova metoda¶

Důvod použití (srovnání s Jacobiho metodou)¶

Mezi klasickými metodami je dobře známá Jacobiho metoda.

Tato metoda je účinná, je-li matice malá a hustá. Protože však matice zpracovávané HEC-MW jsou velké a řídké, Jacobiho metoda se nepoužívá; namísto ní se používá iterační Lanczosova metoda.

Algoritmus a vlastnosti¶

Tato metoda, kterou C. Lanczos navrhl v 50. letech 20. století, je algoritmem pro převod matice do tridiagonálního tvaru a má následující vlastnosti.

Jde o iterační konvergentní metodu, která může postupovat při zachování řídkosti matice.
Algoritmus se skládá především ze součinů matice s vektorem a je dobře vhodný pro paralelizaci.
Je dobře vhodný pro geometrickou dekompozici oblasti související se sítěmi konečných prvků.
Efektivního výpočtu lze dosáhnout omezením počtu vlastních čísel a rozsahu získávaných módů.

Lanczosova metoda vychází z počátečního vektoru, postupně generuje ortogonální vektory a vytváří bázi podprostoru. Uvádí se, že je rychlejší než metoda podprostoru, další iterační metoda, a je široce používána v programech metody konečných prvků. Tato metoda je však citlivá na numerické chyby, které mohou narušit ortogonalitu vektorů a způsobit selhání výpočtu. Proto jsou opatření proti takovým numerickým chybám nezbytná.

Geometrická interpretace (Krylovův podprostor)¶

Zavedeme-li v rovnici $\eqref{eq:2.3.8}$ následující substituci,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

lze úlohu přepsat jako

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

a získáme tento tvar.

Na vhodný vektor $q_0$ aplikujeme lineární transformaci reprezentovanou maticí $A$ (viz obrázek 2.3.2).

$Lineární transformace vektoru $q_0$ maticí $A$$

Obrázek 2.3.2 Lineární transformace vektoru $q_0$ maticí $A$

Transformovaný vektor se ortogonalizuje v prostoru, který společně s původním vektorem rozpíná. Jinými slovy se provede Gramova-Schmidtova ortogonalizace, jak je znázorněno na obrázku 2.3.2. Výsledný vektor označme $r_1$. Normalizací na jednotkovou délku získáme $q_1$ (obrázek 2.3.3). Z $q_1$ stejným postupem získáme $q_2$. V tomto okamžiku je $q_2$ ortogonální k $q_1$ i $q_0$ (obrázek 2.3.4). Pokračováním stejného výpočtu získáme vzájemně ortogonální vektory až do řádu matice.

$Vektor ortogonální k $q_0$: $q_1$$

Obrázek 2.3.3 Vektor ortogonální k $q_0$: $q_1$

$Vektor ortogonální k $q_1$ a $q_0$: $q_2$$

Obrázek 2.3.4 Vektor ortogonální k $q_1$ a $q_0$: $q_2$

Lanczosův algoritmus konkrétně aplikuje Gramovu-Schmidtovu ortogonalizaci na posloupnost vektorů $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

nebo ekvivalentně $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$.

Tato posloupnost vektorů se nazývá Krylovova posloupnost a prostor, který rozpíná, se nazývá Krylovův podprostor. Při Gramově-Schmidtově ortogonalizaci v tomto prostoru lze každý nový vektor získat pomocí dvou nejnovějších vektorů. To se nazývá Lanczosův princip.

Tridiagonalizace¶

Ve výše uvedené iteraci lze výpočet (i+1)-ního vektoru zapsat jako

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

kde

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

V maticovém zápisu dostaneme

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

kde

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Vlastní čísla se tedy získají vyřešením problému vlastních čísel pro tridiagonální matici získanou z rovnice $\eqref{eq:2.3.13}$.

Související témata¶

Analýza frekvenční odezvy — Frekvenční odezva s využitím výsledků modální analýzy
Typy analýz — Funkční přehled modální analýzy