Numerická integrace¶

Vektory vnitřních sil prvku \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) a matice tuhosti prvku \(\boldsymbol{K}^e\) získané v částech Diskretizace vnitřní virtuální práce a Vnější virtuální práce a sestavení globální rovnice mají tvar integrálů přes oblast prvku \(\Omega^e\) nebo \(\Omega^e_0\). FrontISTR je vyhodnocuje numericky pomocí Gaussovy kvadratury.

Gaussova kvadratura a změna proměnných¶

Gaussova kvadratura aproximuje integrál přes referenční oblast \(\Xi\) lineární kombinací hodnot integrandu v integračních bodech \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) a vah \(w_i\). Při použití na oblast prvku \(\Omega^e\) se provede změna proměnných prostřednictvím zobrazení \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), takže

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

kde \(n_q\) je počet integračních bodů a \(J_{\xi_i}\) je determinant Jacobiho matice transformace. Referenční oblast \(\Xi\) je definována pro každý typ prvku (pro šestistěn \([-1,1]^3\); pro trojúhelníky, čtyřstěny a klíny odpovídající referenční tvary) a integrační body \(\boldsymbol{\xi}_i\) a váhy \(w_i\) jsou dány numerickými tabulkami. Plošné integrály se zpracovávají ve stejném tvaru zobrazením stěny prvku z dvourozměrné referenční oblasti.

Typické počty integračních bodů používané ve FrontISTR jsou uvedeny níže (vztah k typům prvků viz Schéma číslování prvků a knihovna tvarových funkcí).

Typ prvku	Kvadraturní pravidlo	Počet integračních bodů
4uzlový čtyřstěn (`tet4n`)	1bodové pravidlo	1
10uzlový čtyřstěn (`tet10n`)	4bodové pravidlo	4
6uzlový trojboký hranol (`prism6n`)	2bodové pravidlo	2
15uzlový trojboký hranol (`prism15n`)	9bodové pravidlo	9
8uzlový šestistěn (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20uzlový šestistěn (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4uzlový čtyřúhelník (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8uzlový čtyřúhelník (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3uzlový trojúhelník (`tri3n`)	1bodové pravidlo	1
6uzlový trojúhelník (`tri6n`)	3bodové pravidlo	3

Pro šestistěnné, čtyřúhelníkové a čárové prvky se používají tenzorové součiny Gaussova-Legendreova pravidla v jednotlivých souřadných směrech. Trojúhelníky, čtyřstěny a trojboké hranoly používají specializovaná pravidla vhodná pro geometrie simplexového typu (uspořádání bodů, která přesně integrují polynomy přímo na trojúhelníku).

Použití při integraci prvku¶

Při integraci prvku se jako souřadnice referenční oblasti používají přirozené souřadnice \(\boldsymbol{r}\) (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)) a zobrazení do fyzikálních souřadnic je dáno interpolací uzlových souřadnic pomocí tvarových funkcí. Podle volby referenční konfigurace (Rámec přírůstkové analýzy) se používají následující formulace.

Metoda Total Lagrangian (integrace přes referenční konfiguraci \(\Omega^e_0\)): zobrazení a Jacobiho determinant jsou

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

a vnitřní síla prvku a matice tuhosti se aproximují jako

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Všechny veličiny \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) se vyhodnocují v integračním bodě \(\boldsymbol{r}_i\).

Metoda Updated Lagrangian (integrace přes aktuální konfiguraci \(\Omega^e\)): zobrazení a Jacobiho determinant jsou

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

se používají jako aproximace.

Jediný rozdíl mezi oběma formulacemi spočívá v tom, zda jsou do zobrazení zadány uzlové souřadnice \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) nebo \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); integrační body, váhy a struktura smyčky přes integrační body jsou společné.

Plná a redukovaná integrace¶

Integrace s dostatečným počtem integračních bodů pro přesnou integraci polynomiálního stupně integrandu se nazývá plná integrace, zatímco integrace s o jednu úroveň menším počtem integračních bodů se nazývá redukovaná integrace. Redukovaná integrace se používá ke zmírnění smykového a objemového uzamčení, vyžaduje však ošetření parazitních deformačních módů, například hourglass módů. Počet integračních bodů pro jednotlivé typy prvků a volba mezi plnou a redukovanou integrací jsou popsány v Schématu číslování prvků a knihovně tvarových funkcí a navazujících částech a v Pokročilých formulacích prvků.

Související témata¶

Prostorové derivace tvarových funkcí — Výpočet Jacobiho matice
Diskretizace vnitřní virtuální práce — Veličiny vyhodnocované numerickou integrací
Pokročilé formulace prvků — Použití redukované integrace