Tato část uvádí časovou diskretizaci a iterační metodu řešení analýzy vedení tepla v pevných tělesech metodou konečných prvků (FEM). Rovnice kontinua a okrajové podmínky jsou uvedeny v části Rovnice vedení tepla.
\[\begin{equation}
K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F
\label{eq:2.4.8}
\end{equation}\]
kde
\[\begin{equation}
K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x}
+ k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y}
+ k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV
+ \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds
\label{eq:2.4.9}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
M = \int \rho c N^T N dV
\label{eq:2.4.10}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS
+ \int{hc} T c N^T dS
+ \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS
\label{eq:2.4.11}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
N = (N^1, N^2, \ldots, Ni)
\label{eq:2.4.12}
\end{equation}\]
Zde \(K\), \(M\), \(F\) a \(N\) označují matici vedení tepla (včetně příspěvků konvekčních a radiačních okrajových podmínek), hmotnostní matici, vektor tepelného zatížení a matici tvarových funkcí. Definice symbolů materiálových vlastností (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) atd.) odpovídají části Rovnice vedení tepla.
Rovnice \(\eqref{eq:2.4.8}\) je nelineární nestacionární rovnice.
Při použití zpětné Eulerovy metody pro časovou diskretizaci se při známé teplotě v čase \(t=t_0\) vypočítá teplota v čase \(t=t_0+\Delta t\) pomocí následující rovnice.
Teplotní vektor přibližně splňující zde uvedenou rovnici \(\eqref{eq:2.4.13}\), \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\),
tak, abychom získali přesnější řešení \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).
Za tímto účelem nejprve vyjádříme vektor teplot následujícím způsobem.
Dosazením rovnic \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) a \(\eqref{eq:2.4.16}\) do rovnice \(\eqref{eq:2.4.13}\) a zanedbáním členů druhého a vyšších řádů dostaneme následující rovnici.
V nestacionární analýze se pro časovou diskretizaci používá implicitní metoda, takže volba časového přírůstku \(\Delta t\) obecně nepodléhá omezení jeho velikosti. Pokud je však časový přírůstek \(\Delta t\) příliš velký, zvyšuje se počet iterací potřebných ke konvergenci.
Obecně platí, že příliš velký časový přírůstek \(\Delta t\) zvyšuje počet iterací. Implementace při automatickém řízení přírůstku sleduje velikost vektoru rezidua; při pomalé konvergenci \(\Delta t\) zmenšuje a při malém počtu iterací \(\Delta t\) zvětšuje (→ podrobnosti viz Řízení kroku).