Gå till innehållet

Diskretisering av inre virtuellt arbete

Ekvationen för virtuellt arbete vid tiden \(t + \Delta t\) som presenterades i Ramverk för inkrementell analys antar två former, Updated Lagrange- och Total Lagrange-formuleringen, beroende på valet av referenskonfiguration. I detta kapitel används den finita element-approximation som introducerades i Formfunktioner och finita element-approximation och Formfunktioners rumsderivator för att rumsdiskretisera det inre virtuella arbetet i båda formuleringarna och erhålla elementens inre kraftvektorer \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) och \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

För element \(e\), låt de ingående noderna vara \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); låt förskjutningarna vara \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) och ordna elementets nodförskjutningsvektor som \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Den virtuella förskjutningen \(\delta \boldsymbol{u}^e\) definieras i samma ordning. Förskjutningen inom elementet interpoleras med formfunktionerna enligt \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Inre virtuellt arbete i Updated Lagrange-formuleringen

I Updated Lagrange-formuleringen används vid tiden \(t\) den aktuella konfigurationen \({}^{t}\Omega\) som referenskonfiguration, och det inre virtuella arbetet skrivs med Cauchy-spänningen \(\boldsymbol{\sigma}\) och den linjära delen av Almansi-töjningen \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) som

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Varje komponent i \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) kan, med koordinaterna \(\boldsymbol{x}\) i den aktuella konfigurationen, uttryckas som en linjärkombination av formfunktionsderivatorna \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) och de virtuella nodförskjutningarna \(\delta u^e_{i\alpha}\). I Voigt-notation kan detta samlas till

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Nodblocket \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) bildas genom att ordna \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) enligt Voigt-konventionen i en \(6 \times 3\)-matris, och \(\boldsymbol{B}_L\) är töjnings-förskjutningsmatrisen för UL-formuleringen. Insättning av detta i det inre virtuella arbetet och utbrytning av \(\delta \boldsymbol{u}^e\) ger

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

För \(\boldsymbol{q}^e\) är nodblocket \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) den inre kraften från element \(\Omega^e\) som verkar på den ingående noden \(\alpha\).

Inre virtuellt arbete i Total Lagrange-formuleringen

I Total Lagrange-formuleringen används ursprungskonfigurationen \(\Omega_0\) som referenskonfiguration, och det inre virtuella arbetet skrivs med den andra Piola-Kirchhoff-spänningen \(\boldsymbol{S}\) och Green-Lagrange-töjningen \(\boldsymbol{E}\) som

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Variationen \(\delta \boldsymbol{E}\) delas upp i en term som är linjär i den virtuella förskjutningen och en icke-linjär term som innehåller produkter med den aktuella förskjutningsgradienten \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Den linjära termen kan skrivas genom att samma ordningsregel som i UL-formuleringen tillämpas på \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), vilket ger nodblocket \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Endast de ingående derivatorna ändras från \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) till \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) på grund av den annorlunda referenskonfigurationen; samma symbol används som i UL-formuleringen. Den icke-linjära termen använder produkter av den aktuella förskjutningsgradienten \(\partial u_k/\partial X_j\) och \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), ordnade enligt Voigt-konventionen för att bilda nodblocket \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Därmed är \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), och \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) är töjnings-förskjutningsmatrisen för TL-formuleringen. Insättning av detta i det inre virtuella arbetet ger

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Nodblocket \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) är den inre kraften från element \(\Omega^e_0\) som verkar på den ingående noden \(\alpha\).

Motsvarighet mellan UL/TL och beräkningsflöde

Elementens inre kraftvektorer i Updated Lagrange- och Total Lagrange-formuleringarna motsvarar varandra enligt följande.

Post Updated Lagrange-formulering Total Lagrange-formulering
Referenskonfiguration Aktuell konfiguration \({}^{t}\Omega^e\) Ursprungskonfiguration \(\Omega^e_0\)
Spänningstensor Cauchy-spänning \(\boldsymbol{\sigma}\) Andra PK-spänningen \(\boldsymbol{S}\)
Töjningsvariation \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B-matris \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Inre elementkraft \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Båda behandlas med samma procedur: konstruera \(\boldsymbol{B}_L\) från formfunktionernas rumsderivator; i TL-formuleringen, konstruera och addera \(\boldsymbol{B}_{NL}\) från den aktuella förskjutningsgradienten; uppdatera spänningen (\(\boldsymbol{\sigma}\) eller \(\boldsymbol{S}\)) enligt konstitutiva lagen; och numeriskt integrera \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) eller \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) över elementdomänen vid integrationspunkterna (Numerisk integration). Förutom bytet av referenskonfiguration (nodkoordinater och konstruktion av \(\boldsymbol{B}\)-matrisen) och ersättningen av spänningstensorn är behandlingen gemensam, så FrontISTR implementerar beräkningarna av inre kraft för båda formuleringarna med gemensamma subrutiner. Assembleringen av elementens inre kraftvektorer \(\boldsymbol{q}^e\) och \(\boldsymbol{Q}^e\) till den globala inre kraftvektorn behandlas i Externt virtuellt arbete och assemblering av de globala ekvationerna.

Relaterade ämnen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status