Ga naar inhoud

Discretisatie van interne virtuele arbeid

De virtuele-arbeidsvergelijking op tijdstip \(t + \Delta t\) die in Raamwerk voor incrementele analyse is gepresenteerd, heeft twee vormen, de bijgewerkte Lagrange- en de totale Lagrange-formulering, afhankelijk van de keuze van de referentieconfiguratie. In dit hoofdstuk wordt de eindige-elementenbenadering die is ingevoerd in Vormfuncties en eindige-elementenbenadering en Ruimtelijke afgeleiden van vormfuncties gebruikt om de interne virtuele arbeid van beide formuleringen ruimtelijk te discretiseren en de interne elementkrachtvectoren \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) en \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL) te verkrijgen.

Laat voor element \(e\) de samenstellende knopen \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) zijn; laat de verplaatsingen \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) zijn, en orden de elementknoopverplaatsingsvector als \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). De virtuele verplaatsing \(\delta \boldsymbol{u}^e\) wordt in dezelfde volgorde gedefinieerd. De verplaatsing binnen het element wordt met de vormfuncties geïnterpoleerd als \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Interne virtuele arbeid in de bijgewerkte Lagrange-formulering

In de bijgewerkte Lagrange-formulering wordt op tijdstip \(t\) de actuele configuratie \({}^{t}\Omega\) als referentieconfiguratie gebruikt, en wordt de interne virtuele arbeid in termen van de Cauchy-spanning \(\boldsymbol{\sigma}\) en het lineaire deel van de Almansi-rek \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) geschreven als

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Elke component van \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) kan met behulp van de coördinaten van de actuele configuratie \(\boldsymbol{x}\) worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van de afgeleiden van de vormfuncties \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) en de virtuele knoopverplaatsingen \(\delta u^e_{i\alpha}\). In Voigt-notatie kan dit worden samengevat als

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Het knoopblok \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) wordt gevormd door \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) volgens de Voigt-conventie in een matrix van \(6 \times 3\) te rangschikken, en \(\boldsymbol{B}_L\) is de rek-verplaatsingsmatrix voor de UL-formulering. Door dit in de interne virtuele arbeid te substitueren en \(\delta \boldsymbol{u}^e\) buiten haakjes te brengen, volgt

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Voor \(\boldsymbol{q}^e\) is het knoopblok \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) de interne kracht van element \(\Omega^e\) die op samenstellende knoop \(\alpha\) werkt.

Interne virtuele arbeid in de totale Lagrange-formulering

In de totale Lagrange-formulering wordt de beginconfiguratie \(\Omega_0\) als referentieconfiguratie gebruikt, en wordt de interne virtuele arbeid in termen van de tweede Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{S}\) en de Green-Lagrange-rek \(\boldsymbol{E}\) geschreven als

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

De variatie \(\delta \boldsymbol{E}\) wordt gesplitst in een term die lineair is in de virtuele verplaatsing en een niet-lineaire term die producten met de actuele verplaatsingsgradiënt \(\partial u_k/\partial X_j\) bevat:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

De lineaire term kan worden geschreven door dezelfde rangschikkingsregel als in de UL-formulering toe te passen op \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), waardoor het knoopblok \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) ontstaat:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Alleen de samenstellende afgeleiden veranderen van \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) naar \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) vanwege de andere referentieconfiguratie; hetzelfde symbool als in de UL-formulering wordt gebruikt. De niet-lineaire term gebruikt producten van de actuele verplaatsingsgradiënt \(\partial u_k/\partial X_j\) en \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), gerangschikt volgens de Voigt-conventie om het knoopblok \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) te vormen:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Daarmee geldt \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), en is \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) de rek-verplaatsingsmatrix voor de TL-formulering. Substitutie hiervan in de interne virtuele arbeid geeft

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Het knoopblok \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) is de interne kracht van element \(\Omega^e_0\) die op samenstellende knoop \(\alpha\) werkt.

Correspondentie tussen UL/TL en de berekeningsstroom

De interne elementkrachtvectoren in de bijgewerkte Lagrange- en totale Lagrange-formulering komen als volgt met elkaar overeen.

Item Bijgewerkte Lagrange-formulering Totale Lagrange-formulering
Referentieconfiguratie Actuele configuratie \({}^{t}\Omega^e\) Beginconfiguratie \(\Omega^e_0\)
Spanningstensor Cauchy-spanning \(\boldsymbol{\sigma}\) Tweede PK-spanning \(\boldsymbol{S}\)
Rekvariatie \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B-matrix \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Interne elementkracht \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Beide worden volgens dezelfde procedure verwerkt: construeer \(\boldsymbol{B}_L\) uit de ruimtelijke afgeleiden van de vormfuncties; construeer in de TL-formulering \(\boldsymbol{B}_{NL}\) uit de actuele verplaatsingsgradiënt en tel deze erbij op; werk de spanning (\(\boldsymbol{\sigma}\) of \(\boldsymbol{S}\)) bij volgens de constitutieve wet; en integreer \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) of \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) numeriek over het elementdomein op de integratiepunten (Numerieke integratie). Afgezien van het wisselen van de referentieconfiguratie (knoopcoördinaten en constructie van de \(\boldsymbol{B}\)-matrix) en het vervangen van de spanningstensor, is de verwerking gemeenschappelijk; daarom implementeert FrontISTR de interne-krachtberekeningen voor beide formuleringen met gemeenschappelijke subroutines. Assemblage van de interne elementkrachtvectoren \(\boldsymbol{q}^e\) en \(\boldsymbol{Q}^e\) in de globale interne-krachtvector wordt behandeld in Externe virtuele arbeid en assemblage van de globale vergelijkingen.

Gerelateerde onderwerpen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status