Перейти до змісту

Удосконалені формулювання елементів

Стандартне формулювання на основі переміщень, наведене в Формулюванні тривимірних твердотільних елементів, при застосуванні до майже нестисливих матеріалів або тонкостінних конструкцій, де переважає згин, виявляє надмірну штучну жорсткість, відому як блокування (об'ємне або зсувне блокування). Щоб уникнути цього, FrontISTR надає методи B-bar і F-bar, які замінюють лише об'ємну частину матриці B або градієнта деформації; несумісні елементи з внутрішніми ступенями свободи; змішані u-p елементи, у яких тиск розглядається як незалежне невідоме поле; а також оболонкові елементи MITC і балкові елементи, спеціалізовані для пластинчастих і балкових конструкцій.

У цьому розділі узагальнено формулювання цих удосконалених і конструктивних елементів на рівні окремого елемента.

Метод B-bar

Якщо 8-вузловий лінійний гексаедричний елемент застосовується до майже нестисливого матеріалу, поле деформацій усередині одного елемента може суперечити умові сталого об'єму, що спричиняє надмірну жорсткість, відому як об'ємне блокування. Метод B-bar послаблює цю надмірну зв'язаність, замінюючи компоненти матриці B, що відповідають за об'ємне розширення, значеннями, обчисленими в центрі елемента [Hughes1980].

Нехай у центрі елемента \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) матриця B, обчислена з просторових похідних функцій форми, позначається \(\bar{\boldsymbol{B}}\), а у точці інтегрування \(\boldsymbol{r}\) звичайна матриця B — \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). У співвідношенні переміщення–деформація для вузла \(\alpha\) і ступеня свободи \(i\) до компонентів об'ємної деформації \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) додається

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Для компонентів зсувної деформації \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) використовується звичайна \(\boldsymbol{B}\). Жорсткість елемента та вектор внутрішніх сил складаються з використанням отриманої матриці B-bar.

У FrontISTR це формулювання надається спеціально для 8-вузлового лінійного гексаедричного елемента (ID елемента 361; див. Систему нумерації елементів) і може застосовуватися до формулювань малих деформацій, Total Lagrange та Updated Lagrange.

Метод F-bar

За скінченних деформацій зміна об'єму нелінійно входить через градієнт деформації \(\boldsymbol{F}\). Метод F-bar [deSouzaNeto1996] застосовує на рівні градієнта деформації засіб проти об'ємного блокування, аналогічний методу B-bar.

Нехай відношення об'ємів для градієнта деформації, оціненого в центрі елемента \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), дорівнює \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), а відношення об'ємів у точці інтегрування — \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Градієнт деформації в точці інтегрування замінюється на

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

У результаті \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), тому відношення об'ємів по всьому елементу узгоджується зі значенням у центрі елемента. Замінена величина \(\bar{\boldsymbol{F}}\) використовується для обчислення напружень і побудови матриці деформація–переміщення, а дотична матриця жорсткості елемента містить додаткові члени, пов'язані з цією заміною.

FrontISTR реалізує метод F-bar спеціально для 8-вузлового лінійного гексаедричного елемента; його можна застосовувати як до малих деформацій, так і до нелінійної геометрії Total Lagrange / Updated Lagrange.

Несумісні елементи

8-вузловий лінійний гексаедричний елемент не має мод деформації, потрібних для згину, і в задачах із переважним згином виявляє згинальне блокування. Несумісні елементи [Taylor1976] вводять усередині елемента додаткові моди переміщення, щоб компенсувати цей недолік.

Окрім вузлових переміщень елемента \(\boldsymbol{u}^e\), на один елемент вводяться ступені свободи несумісних мод \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), що існують лише всередині елемента: 3 напрямки × 3 моди. Поле переміщень апроксимується як

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Для природних координат \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) несумісні функції форми задаються як \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) і \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Вони не гарантують неперервності на межах елементів, але додають внутрішній простір, здатний відтворювати деформації, пов'язані зі згинальними модами.

Жорсткість елемента спочатку складається у блочній формі зовнішніх і внутрішніх ступенів свободи

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Після складання в цій формі внутрішні ступені свободи усуваються статичною конденсацією за допомогою \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), що дає жорсткість елемента лише для зовнішніх ступенів свободи

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

яка передається до глобального складання.

FrontISTR реалізує несумісний елемент спеціально для 8-вузлового лінійного гексаедричного елемента (C3D8IC); його можна застосовувати до формулювань малих деформацій, Total Lagrange та Updated Lagrange.

Змішані U-P елементи

На відміну від методів B-bar і F-bar, які коригують об'ємну складову в межах формулювання на основі переміщень, змішаний u-p (U-P) елемент використовує змішане формулювання [Bathe1996], що вводить тиск \(\lambda\) як поле невідомої, незалежне від переміщення. Для майже нестисливих матеріалів, наприклад гумоподібних матеріалів із коефіцієнтом Пуассона, дуже близьким до 0.5, або металів після пластичної деформації, накладання умови сталого об'єму лише через поле переміщень спричиняє об'ємне блокування; використання тиску як незалежної змінної послаблює це обмеження.

Напруження розділяється на девіаторну складову та складову тиску:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Тут \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) — девіаторна матриця пружності, отримана вилученням з матриці пружності об'ємної частини, пропорційної модулю об'ємної пружності \(K\). Тиск \(\lambda\) та об'ємна деформація \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) пов'язані умовою через стисливість \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Дискретизація з переміщенням \(\boldsymbol{u}\) і тиском \(\lambda\) як невідомими дає зв'язану систему рівнянь елемента

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

де \(\mathbf{K}_{uu}\) містить девіаторний пружний внесок і, для скінченних деформацій, геометричну жорсткість; \(\mathbf{K}_{up}\) зв'язує об'ємну деформацію і тиск; а \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) є членом стабілізації тиску (\(\boldsymbol{N}_p\) — функція форми для тиску). Оскільки ступені свободи тиску є внутрішніми для елемента,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

у цій формі виконується статична конденсація, а ефективна жорсткість лише для зовнішніх (переміщувальних) ступенів свободи передається до глобального складання.

FrontISTR реалізує U-P елемент спеціально для 8-вузлового лінійного гексаедричного елемента з одним ступенем свободи тиску на елемент (сталим усередині елемента). Його можна застосовувати до формулювань малих деформацій, Total Lagrange та Updated Lagrange. В Updated Lagrange девіаторне напруження оновлюється з використанням об'єктивної швидкості напруження (типу Jaumann/Hughes-Winget), після чого тиск \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) накладається зі значенням, отриманим статичною конденсацією.

Оболонкові елементи

Для тонкостінних пластинчастих і оболонкових конструкцій використовуються оболонкові елементи на основі теорії пластин/оболонок Reissner-Mindlin. Зі зменшенням товщини низькопорядкові пластинчасті/оболонкові елементи на основі переміщень завищують поперечну зсувну деформацію через механізм, аналогічний об'ємному блокуванню (зсувне блокування), через що жорсткість для згинальних мод надмірно зростає. Метод MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] усуває цю проблему, повторно обчислюючи лише компоненти зсувної деформації в наперед визначених точках прив'язки елемента й інтерполюючи отримані значення по елементу.

Вузли оболонкового елемента MITC лежать на серединній поверхні, і кожен вузол має шість ступенів свободи: три компоненти поступального переміщення та три компоненти обертання відносно системи координат нормалі до серединної поверхні. Жорсткість елемента оцінюється тривимірним гаусовим інтегруванням за природними координатами серединної поверхні та напрямком товщини, а товщина \(h\) задається як властивість елемента під час обчислення визначальних співвідношень.

FrontISTR надає MITC3 (ID елемента 731), MITC4 (741) і MITC9 (743), представлені одним шаром серединної поверхні, а також шаруваті оболонкові елементи MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 вузлів, 3 ступені свободи на вузол) та MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 вузлів, 3 ступені свободи на вузол), вузли яких розміщено у двох шарах по товщині. У шаруватих оболонкових елементах вузлові ступені свободи складаються лише з трьох компонентів поступального переміщення, тоді як згинальні моди, що відповідають обертальним ступеням свободи, представляються двошаровим розташуванням.

Балкові елементи

Лінійні конструктивні елементи, такі як балки й рамні конструкції, дискретизуються балковими елементами. FrontISTR використовує формулювання балки Timoshenko, яке враховує зсувну деформацію та виражає як згин, так і зсув через поступальні й обертальні ступені свободи.

Кожен вузол балки має шість ступенів свободи: три компоненти поступального переміщення та три компоненти обертання навколо осі балки й поперечних осей. Жорсткість елемента обчислюється одновимірним чисельним інтегруванням уздовж осі балки. Площа поперечного перерізу \(A\) і другі моменти площі \(I\) для напрямків згину та кручення задаються як властивості перерізу балки й разом із модулем Юнга матеріалу \(E\) та модулем зсуву \(G\) визначають осьову, згинальну, крутильну та зсувну жорсткості.

FrontISTR надає 2-вузловий прямолінійний балковий елемент (ID елемента 611) і 4-вузловий тетраедричний гібридний твердотільно-балковий елемент, представлений 3 вузлами (641, для змішаних ступенів свободи).

Пов'язані теми

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status