Inkrementaalisen analyysin kehys

Inkrementaalisen analyysin tarve

Kuten edellä kuvattiin, pienten muodonmuutosten ongelmien analyysissä äärellisten elementtien analyysi voidaan suorittaa käyttämällä virtuaalityön periaatetta, joka on ekvivalentti perusyhtälöiden, kuten tasapainoyhtälöiden, kanssa, ja diskretoimalla tämä yhtälö äärellisillä elementeillä. Samaa virtuaalityön perusperiaatetta käytetään myös rakenteiden suuria muodonmuutoksia sisältävien äärellisten muodonmuutosten ongelmien analyysissä.

Äärellisten muodonmuutosten ongelmissa virtuaalityön periaatteen yhtälö muuttuu kuitenkin siirtymän suhteen epälineaariseksi, vaikka materiaalin lineaarisuus oletettaisiin. Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi tehdään yleensä iteratiivisia laskelmia iteratiivisella menetelmällä.

Näissä iteratiivisissa laskelmissa käytetään inkrementaalista analyysimenetelmää, jossa laskenta tehdään pieninä kuormainkrementteinä ja inkrementtejä kumuloidaan, kunnes lopullinen muodonmuutostila saavutetaan. Kun oletetaan pienen muodonmuutoksen ongelma, venymää ja jännitystä määritettäessä ei tehdä erityistä eroa ennen muodonmuutosta ja sen jälkeen olevien konfiguraatioiden välillä. Toisin sanoen pienen muodonmuutoksen oletuksella ei ole merkitystä, käytetäänkö perusyhtälöiden kuvaamiseen ennen vai jälkeen muodonmuutoksen olevaa konfiguraatiota.

Kun äärellisen muodonmuutoksen ongelmalle tehdään inkrementaalinen analyysi, formulointi riippuu siitä, otetaanko referenssikonfiguraatioksi alkukonfiguraatio vai inkrementin alun konfiguraatio. Edellistä kutsutaan Total Lagrangen menetelmäksi ja jälkimmäistä Updated Lagrangen menetelmäksi. Yksityiskohdat ovat luvun lopussa mainituissa lähteissä ja niihin liittyvässä aineistossa.

Lähtöyhtälö: virtuaalityön periaate ajanhetkellä \(t'\)

Tarkastellaan inkrementaalista analyysiä, jossa tila ajanhetkeen \(t\) asti tunnetaan ja tila ajanhetkellä \(t' = t + \Delta t\) on tuntematon (ks. kuva 2.2.1). Ajanhetken \(t'\) tasapainoyhtälöt, reunaehdot ja virtuaalityön periaate (ilmaistuna nykykonfiguraatiossa Cauchyn jännityksen \(^{t'}\sigma\) ja Almansi-venymän lineaarisen osan \(^{t'} A_{(L)}\) avulla) on esitetty kohdassa Virtuaalityön periaate.

Kuva 2.2.1 Inkrementaalisen analyysin periaate

Koska tämä lähtöyhtälö on kuitenkin kirjoitettu ajanhetken \(t'\) (tuntemattomassa) konfiguraatiossa, varsinainen ratkaisumenettely valitsee referenssikonfiguraatioksi joko alkukonfiguraation \(V\) ajanhetkellä \(0\) tai nykykonfiguraation \(^{t'} v\) ajanhetkellä \(t\), kirjoittaa yhtälön uudelleen inkrementaalimuotoon ja ratkaisee sen sitten:

• Total Lagrangen menetelmä — Käyttää alkukonfiguraatiota \(V\) referenssinä. Käytetään toista PK-jännitystä \(\boldsymbol{S}\) ja Green–Lagrangen venymää \(\boldsymbol{E}\).
• Updated Lagrangen menetelmä — Käyttää inkrementin alun nykykonfiguraatiota \(^{t}v\) referenssinä. Käytetään Cauchyn jännitystä \(\boldsymbol{\sigma}\) ja Almansi-venymän lineaarista osaa \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Molempien formulointien avaruudellinen diskretointi (B-matriisi ja sisäisen voiman vektori) on kohdassa Sisäisen virtuaalityön diskretointi; linearisointi ja tangenttijäykkyyden muodostaminen ovat kohdassa Tangenttijäykkyysmatriisi.

Liittyvät aiheet

• Virtuaalityön periaate — Pääasiallinen lähtöyhtälö (heikko muoto nyky- ja alkukonfiguraatiossa)
• Sisäisen virtuaalityön diskretointi — TL/UL:n B-matriisit ja sisäisen voiman vektorit
• Tangenttijäykkyysmatriisi — Linearisoinnilla saadut \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\)
• Newton–Raphsonin menetelmä — Iteratiivinen algoritmi