Hyppää sisältöön

Transientti lämmönjohtumisanalyysi

Tässä osiossa esitetään kiinteiden kappaleiden äärellisten elementtien menetelmään (FEM) perustuvan lämmönjohtumisanalyysin aikadiskretointi ja iteratiivinen ratkaisumenetelmä. Kontinuumin hallitsevat yhtälöt ja reunaehdot on esitetty luvussa Lämmönjohtumisyhtälö.

Diskretoitu yhtälö (lähtökohta)

Kun lämmönjohtumisyhtälö (lämmönjohtumisyhtälö (gov_he_main)) diskretoidaan Galerkinin menetelmällä, saadaan

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

missä

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Tässä \(K\), \(M\), \(F\) ja \(N\) ovat vastaavasti lämmönjohtumismatriisi (mukaan lukien konvektiivisten ja säteilyreunaehtojen vaikutukset), massamatriisi, lämpökuormitusvektori ja muotofunktiomatriisi. Materiaaliominaisuuksia kuvaavien symbolien (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) jne.) määritelmät ovat luvun Lämmönjohtumisyhtälö mukaiset.

Aikadiskretointi ja iteratiivinen ratkaisu

Yhtälö \(\eqref{eq:2.4.8}\) on epälineaarinen transienttiyhtälö. Kun aikadiskretointiin käytetään implisiittistä Eulerin menetelmää ja lämpötila ajanhetkellä \(t=t_0\) tunnetaan, lämpötila ajanhetkellä \(t=t_0+\Delta t\) lasketaan seuraavalla yhtälöllä.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Tarkastellaan lämpötilavektorin \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), joka toteuttaa likimäärin yhtälön \(\eqref{eq:2.4.13}\), parantamista tarkemman ratkaisun \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) saamiseksi.

Tätä varten lämpötilavektori esitetään ensin seuraavasti.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Lämmönjohtumismatriisin ja lämpötilavektorin tulo, massamatriisi sekä niihin liittyvät termit approksimoidaan seuraavasti.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Kun yhtälöt \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) ja \(\eqref{eq:2.4.16}\) sijoitetaan yhtälöön \(\eqref{eq:2.4.13}\) ja toisen sekä sitä korkeamman kertaluvun termit jätetään pois, saadaan seuraava yhtälö.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Vasemman puolen kerroinmatriisia approksimoidaan edelleen seuraavan yhtälön avulla.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Tässä \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) on tangenttijäykkyysmatriisi.

Lopulta lämpötila ajanhetkellä \(t=t_0+\Delta t\) voidaan laskea suorittamalla iteratiivinen laskenta seuraavalla yhtälöllä.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Erityisesti stationaarisessa analyysissä iteratiivinen laskenta suoritetaan seuraavalla yhtälöllä.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Transienttianalyysissä aikadiskretointiin käytetään implisiittistä menetelmää, joten aika-askeleen \(\Delta t\) suuruudelle ei yleensä ole vakaudesta johtuvaa rajoitusta. Jos aika-askel \(\Delta t\) on kuitenkin liian suuri, konvergenssiin tarvittavien iteraatioiden määrä kasvaa. Yleisesti liian suuri aika-askel \(\Delta t\) kasvattaa iteraatioiden määrää. Toteutuksessa automaattinen inkrementtiohjaus seuraa residuaalivektorin suuruutta, pienentää \(\Delta t\):tä konvergenssin ollessa hidas ja kasvattaa \(\Delta t\):tä, kun iteraatioita tarvitaan vähän (→ lisätietoja: Askelohjaus).

Liittyvät aiheet

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status