Hyppää sisältöön

Lineaarinen elastisuus

Tässä luvussa käsitellään lineaarisesti elastisten materiaalien konstitutiivista lakia (Hooken lakia). Mallin valinnan ja syöttömääritysten yksityiskohdat esitetään toimintojen luvussa 03_material.

Ilmiö (lineaarisesti elastinen vaste)

Lineaarisesti elastinen kappale on materiaali, jolla kuormituksen aiheuttaman venymän ollessa riittävän pieni jännityksen ja venymän välillä vallitsee lineaarinen yhteys ja vaste on palautuva sekä historiasta riippumaton siten, että kaikki venymä palautuu alkuperäiseen tilaansa kuormituksen poistamisen jälkeen. Toisin kuin plastisuudessa tai virumisessa, sillä ei ole tilaa kuvaavia sisäisiä muuttujia (kuten plastista venymää tai viskoosia venymää), ja jännitys määräytyy yksikäsitteisesti ainoastaan nykyisen venymän perusteella.

Pienten muodonmuutosten alueella käytetään Cauchyn jännitystä \(\boldsymbol{\sigma}\) ja infinitesimaalista venymää \(\boldsymbol{\varepsilon}\); äärellisten muodonmuutosten alueella (tehtävissä, joissa esiintyy suuria kiertoja mutta itse venymä on pieni) käytetään toista Piola–Kirchhoffin jännitystä \(\boldsymbol{S}\) ja Green–Lagrangen venymää \(\boldsymbol{E}\) (St.Venant–Kirchhoff-materiaali).

Konstitutiivinen laki

Isotrooppinen lineaarisesti elastinen materiaali

Pienten muodonmuutosten alueella isotrooppinen Hooken laki ilmaistaan Lamén vakioiden \(\lambda, \mu\) avulla muodossa

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Komponenttimuodossa,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

ja kaksoiskontraktio venymän kanssa antaa \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Lamén vakioiden yhteys Youngin moduuliin \(E\) ja Poissonin lukuun \(\nu\) on seuraava:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigtin merkintätavassa venymävektorin \(\hat{\varepsilon}\) ja jännitysvektorin \(\hat{\sigma}\) välinen yhteys kirjoitetaan \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), ja kolmiulotteinen materiaalimatriisi \(D\) on

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Tätä matriisiesitystä käytetään toteutuksessa.

Ortotrooppinen lineaarisesti elastinen materiaali

Materiaaleille, joiden elastiset vakiot poikkeavat pääakselisuunnittain, käytetään ortotrooppista mallia, jossa on yhdeksän riippumatonta vakiota: pääakselisuuntien Youngin moduulit \(E_1, E_2, E_3\), pääakseleiden väliset Poissonin luvut \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) ja leikkausmoduulit \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). \(D\)-matriisin eksplisiittinen muoto esitetään alan vakiintuneissa lähteissä.

Äärellisten muodonmuutosten alue: St.Venant–Kirchhoff-materiaali

Tehtävissä, joissa esiintyy suuria kiertoja mutta itse venymä on pieni, St.Venant–Kirchhoff-materiaalia käytetään lineaarisena elastisena lakina, joka yhdistää toisen Piola–Kirchhoffin jännityksen \(\boldsymbol{S}\) ja Green–Lagrangen venymän \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamén vakioiden \(\lambda, \mu\) määritelmät ovat samat kuin pienten muodonmuutosten tapauksessa. On kuitenkin huomattava, että koska jännitys–venymä-parin määritelmät poikkeavat toisistaan, kyseessä on eri konstitutiivinen laki kuin pienten muodonmuutosten Hooken laki.

Hypoelastinen materiaali

Updated Lagrange -menetelmässä käytetään hypoelastista materiaalia, jossa suhteellisen Kirchhoffin jännitystensorin Jaumann-derivaatan \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) ja muodonmuutosnopeustensorin \(\boldsymbol{D}\) välillä sovelletaan lineaarista elastista lakia:

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Tässäkin \(\boldsymbol{C}\):n määritelmä Lamén vakioiden avulla on sama kuin edellä, mutta koska jännitys–venymä-pari poikkeaa, kyseessä on eri konstitutiivinen laki. Yksityiskohdat siitä, miten \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) päivitetään aikaintegrointimenettelyssä (eteenpäin Euler -integrointi ja keskeisdifferenssiapproksimaatio), esitetään tiedostossa tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Reduktio kaksiulotteiseen analyysiin ja kuorielementteihin

Tasojännitys (\(\sigma_{33} = 0\))

Ohuiden levyjen ja kuorien kuormitusta kuvaavassa tasojännitystilassa oletetaan \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), ja käytetään \(D\)-matriisia, josta tason ulkopuolinen venymäkomponentti \(\varepsilon_{33}\) on eliminoitu algebrallisesti:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Tasovenymä (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Paksuussuunnassa sidotun pitkän rakenteen poikkileikkausta kuvaavassa tasovenymätilassa oletetaan \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Aksisymmetrinen

Aksisymmetrisessä analyysissä käsitellään tehtäviä, jotka ovat sylinterikoordinaateissa \((r, \theta, z)\) yhdenmukaisia \(\theta\)-suunnassa. Tällöin säilytetään neljä komponenttia \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) ja \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), ja

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

saadaan.

Kuorielementit (tasojännitys + poikittainen leikkaus)

Kuorielementeissä tason sisäinen jännitystila käsitellään tasojännityksenä, ja poikittaisille leikkausvenymäkomponenteille \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) käytetään arvoa \(\kappa\, G\), missä \(\kappa\) on leikkauskorjauskerroin (yleensä \(\kappa = 5/6\)). Kunkin elementin yksityiskohtainen formulointi esitetään luvussa Edistyneet elementtiformuloinnit. Toimintojen luvun 03_material määritys, jonka mukaan "kuorielementit tukevat vain lineaarista elastisuutta", perustuu tähän yksinkertaistukseen, jossa tason sisäinen tila käsitellään tasojännityksenä.

Lämpötilariippuvuus

Youngin moduuli \(E\), Poissonin luku \(\nu\) ja lineaarinen lämpölaajenemiskerroin \(\alpha\) määritetään yleensä lämpötilan \(T\) funktioina. FrontISTRissa arvot annetaan äärelliselle lämpötilapisteiden jonolle \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), ja laskennan aikainen lämpötila \(T\) arvioidaan vierekkäisten pisteiden välisellä lineaarisella interpoloinnilla. Alueen ulkopuolisille lämpötiloille (\(T < T_1\) tai \(T > T_n\)) ekstrapolointiin käytetään lähimmän päätepisteen \(T_1\) tai \(T_n\) arvoa (vakioekstrapolointi).

Lämpöominaisuuksien ja lämmönjohtavuusominaisuuksien (tiheys, ominaislämpökapasiteetti ja lämmönjohtavuus) lämpötilariippuvuus esitetään luvussa Lämpöominaisuudet. Interpolointisäännöt ovat näille ominaisuuksille yhteiset.

Aiheeseen liittyvät luvut

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status