Hyppää sisältöön

Hyperelastisuus

Tässä luvussa käsitellään FrontISTR:n tukemia hyperelastisia konstitutiivisia lakeja. Mallin valinnan ja syöttömääritysten yksityiskohdat on esitetty toimintojen luvussa 03_material.

Ilmiö (palautuva vaste suurissa muodonmuutoksissa)

TBD (kehitetään täydelliseksi tekstiksi seuraavassa vaiheessa).

Konstitutiivinen kehys

Isotrooppisen hyperelastisen materiaalin elastinen potentiaalienergia saadaan isotrooppisesta vasteesta alkuperäisestä jännityksettömästä tilasta, ja se voidaan esittää oikean Cauchy–Greenin muodonmuutostensorin \(C\) pääinvarianttien \((I_1, I_2, I_3)\) funktiona tai tilavuudenmuutos poistettuna määritetyn muodonmuutostensorin pääinvarianttien \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) funktiona, eli muodossa \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) tai \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

Hyperelastisen materiaalin konstitutiivinen yhtälö määritellään toisen Piola–Kirchhoffin jännityksen ja Green–Lagrangen venymän välisenä suhteena, ja sen muodonmuutosanalyysiin sovelletaan Total Lagrange -menetelmää.

Kun elastinen potentiaalienergia \(W\) tunnetaan, toinen Piola–Kirchhoffin jännitys ja jännitys-venymäsuhde voidaan laskea seuraavasti.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]
\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

FrontISTR:n käyttämien hyperelastisten mallien elastiset potentiaalienergiat \(W\) on lueteltu alla.

Neo-Hooke-hyperelastinen malli

Neo-Hooke-hyperelastinen malli laajentaa isotrooppisen lineaarisen lain (Hooken lain) sovellettavaksi suurten muodonmuutosten ongelmiin. Sen elastinen potentiaali on seuraava.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Tässä \(C_{10}\) ja \(D\) ovat materiaalivakioita.

Mooney–Rivlin-hyperelastinen malli

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Tässä \(C_{10}\), \(C_{01}\) ja \(D\) ovat materiaalivakioita.

Anisotrooppinen Mooney–Rivlin-hyperelastinen malli

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Tässä \(C_{10}\), \(C_{01}\) ja \(D\) ovat isotrooppiselle mallille yhteisiä materiaalivakioita, kun taas \(C_{42}\) ja \(C_{43}\) ovat anisotropialle ominaisia materiaalivakioita.

Arruda–Boyce-hyperelastinen malli

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]
\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Tässä \(\mu_0\), \(\lambda_m\) ja \(D\) ovat materiaalivakioita.

Liittyvät aiheet

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status