Lineaarinen elastinen staattinen analyysi (johdanto)

Tässä osassa esitetään infinitesimaalisen muodonmuutosteorian mukaisen elastisen staattisen analyysin formulointi. Jännitys–venymä-yhteydelle oletetaan lineaarinen elastisuus. Tämä luku on tarkoitettu johdannoksi äärellisten elementtien rakenneanalyysin kokonaisrakenteen ymmärtämiseen, ja se on järjestetty itsenäiseksi luvuksi.

Virtuaalityön periaatteen yleinen teoria (nykykonfiguraation muoto, alkukonfiguraation muoto ja pelkistys infinitesimaaliseen muodonmuutokseen) on kohdassa Virtuaalityön periaate; lineaarisesti elastisen konstitutiivisen lain yksityiskohdat kohdassa Lineaarinen elastisuus; tensori- ja Voigt-merkinnän käytännöt kohdassa Tensorimerkintä ja matemaattiset perusteet; äärellisen muodonmuutoksen yleinen formulointi kohdassa Liike, muodonmuutos ja venymä; ja epälineaaristen ongelmien ratkaisumenetelmät kohdassa Tangenttijäykkyysmatriisi.

Perusyhtälöt

Infinitesimaalisen muodonmuutoksen ja lineaarisen elastisuuden oletuksilla kiinteän aineen mekaniikan reuna-arvo-ongelma koostuu tasapainoyhtälöstä, mekaanisista reunaehdoista ja geometrisista reunaehdoista (olennaisista reunaehdoista) (ks. kuva 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{alueella} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{rajalla} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{rajalla} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Tässä \(\boldsymbol{\sigma}\) on Cauchyn jännitys, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) tilavuusyksikköä kohti määritetty tilavuusvoima, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) määrätty pintavetovoima, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) määrätty siirtymä ja \(S_t, S_u\) mekaaninen ja geometrinen reuna.

Kuva 2.1.1 Kiinteän aineen mekaniikan reuna-arvo-ongelma (infinitesimaalisen muodonmuutoksen ongelma)

Symmetristä gradienttioperaattoria käyttäen venymä–siirtymä-yhteys on

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Lineaarisesti elastinen konstitutiivinen yhtälö on

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

missä \(\boldsymbol{C}\) on neljännen kertaluvun elastisuustensori.

Virtuaalityön periaate

Virtuaalityön periaatteen yleiset muodot (nykykonfiguraation muoto, alkukonfiguraation muoto ja pelkistys infinitesimaaliseen muodonmuutokseen) on koottu kohtaan Virtuaalityön periaate. Infinitesimaalisen muodonmuutoksen ja lineaarisen elastisuuden oletuksilla heikko muoto on

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{rajalla} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Kun konstitutiivinen yhtälö \eqref{eq:2.1.5} sijoitetaan ja Voigt-merkinnällä kirjoitetaan \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), saadaan diskretoinnissa suoraan käytettävä muoto:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

saadaan, missä \(D\) on kohdassa Lineaarinen elastisuus määritetty elastisuusmatriisi. Yhtälöt \eqref{eq:2.1.10} ja \eqref{eq:2.1.7} muodostavat jäljempänä diskretoitavan virtuaalityön periaatteen.

Globaalin yhtälön diskretointi ja kokoaminen

Kun yhtälön \( \eqref{eq:2.1.10} \) virtuaalityön periaate diskretoidaan äärellisten elementtien yli, saadaan

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Kullekin elementille siirtymäkenttä interpoloidaan elementin muodostavien solmujen siirtymillä seuraavasti.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Venymä saadaan tällöin yhtälön \(\eqref{eq:2.1.4}\) avulla seuraavasti.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Kun yhtälöt \(\eqref{eq:2.1.12}\) ja \(\eqref{eq:2.1.13}\) sijoitetaan yhtälöön \(\eqref{eq:2.1.11}\), saadaan

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Yhtälö \(\eqref{eq:2.1.14}\) voidaan kirjoittaa muotoon

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Tässä yhtälöillä \(\eqref{eq:2.1.16}\) ja \(\eqref{eq:2.1.17}\) määritettyjen matriisin ja vektorin komponentit voidaan laskea kullekin äärelliselle elementille ja koota superpositiolla.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Koska yhtälö \(\eqref{eq:2.1.15}\) pätee mielivaltaiselle virtuaalisiirtymälle \(\delta \boldsymbol{U}\), saadaan seuraava yhtälö.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Samaan aikaan yhtälön \(\eqref{eq:2.1.3}\) siirtymäreunaehto ilmaistaan seuraavasti.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Kun yhtälö \(\eqref{eq:2.1.18}\) ratkaistaan yhtälön \(\eqref{eq:2.1.19}\) rajoitusehdolla, solmusiirtymä \(\boldsymbol{U}\) voidaan määrittää.

Katso myös