Hyppää sisältöön

Sisäisen virtuaalityön diskretointi

Inkrementtianalyysin kehys -luvussa esitetty virtuaalityön yhtälö ajanhetkellä \(t + \Delta t\) saa kaksi muotoa, Updated Lagrange- ja Total Lagrange -formuloinnit, riippuen vertailukonfiguraation valinnasta. Tässä luvussa käytetään luvuissa Muotofunktiot ja äärellisten elementtien approksimaatio ja Muotofunktioiden avaruusderivaatat esitettyä äärellisten elementtien approksimaatiota kummankin formuloinnin sisäisen virtuaalityön avaruudelliseen diskretointiin ja elementin sisäisten voimavektorien \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) ja \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL) johtamiseen.

Olkoon elementin \(e\) muodostavien solmujen indeksit \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), niiden siirtymät \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) ja elementin solmusiirtymävektori järjestettynä muodossa \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Virtuaalisiirtymä \(\delta \boldsymbol{u}^e\) määritellään samassa järjestyksessä. Elementin sisäinen siirtymä interpoloidaan muotofunktioilla muodossa \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Sisäinen virtuaalityö Updated Lagrange -formuloinnissa

Updated Lagrange -formuloinnissa ajanhetken \(t\) nykyistä konfiguraatiota \({}^{t}\Omega\) käytetään vertailukonfiguraationa, ja sisäinen virtuaalityö kirjoitetaan Cauchyn jännityksen \(\boldsymbol{\sigma}\) ja Almansi-venymän lineaarisen osan \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) avulla seuraavasti:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Jokainen \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\):n komponentti voidaan esittää nykyisen konfiguraation koordinaattien \(\boldsymbol{x}\) avulla muotofunktioiden derivaattojen \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ja solmujen virtuaalisiirtymien \(\delta u^e_{i\alpha}\) lineaarikombinaationa. Voigtin merkintätavassa tämä voidaan koota muotoon

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Solmulohko \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) muodostetaan järjestämällä \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) Voigtin konvention mukaisesti \(6 \times 3\) -matriisiksi, ja \(\boldsymbol{B}_L\) on UL-formuloinnin venymä-siirtymämatriisi. Sijoittamalla tämä sisäiseen virtuaalityöhön ja ottamalla \(\delta \boldsymbol{u}^e\) yhteiseksi tekijäksi saadaan

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Vektorissa \(\boldsymbol{q}^e\) solmulohko \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) on elementin \(\Omega^e\) muodostavaan solmuun \(\alpha\) vaikuttava sisäinen voima.

Sisäinen virtuaalityö Total Lagrange -formuloinnissa

Total Lagrange -formuloinnissa alkuperäistä konfiguraatiota \(\Omega_0\) käytetään vertailukonfiguraationa, ja sisäinen virtuaalityö kirjoitetaan toisen Piola–Kirchhoffin jännityksen \(\boldsymbol{S}\) ja Green–Lagrangen venymän \(\boldsymbol{E}\) avulla seuraavasti:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Variaatio \(\delta \boldsymbol{E}\) jaetaan virtuaalisiirtymän suhteen lineaariseen termiin ja epälineaariseen termiin, joka sisältää tuloja nykyisen siirtymägradientin \(\partial u_k/\partial X_j\) kanssa:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Lineaarinen termi voidaan kirjoittaa soveltamalla samaa järjestyssääntöä kuin UL-formuloinnissa derivaattoihin \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), jolloin saadaan solmulohko \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Vertailukonfiguraation eron vuoksi vain osaderivaatat muuttuvat muodosta \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) muotoon \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); symbolina käytetään samaa kuin UL-formuloinnissa. Epälineaarisessa termissä nykyisen siirtymägradientin \(\partial u_k/\partial X_j\) ja \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\):n tulot järjestetään Voigtin konvention mukaisesti solmulohkoksi \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Näin \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), ja \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) on TL-formuloinnin venymä-siirtymämatriisi. Sijoittamalla tämä sisäiseen virtuaalityöhön saadaan

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Solmulohko \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) on elementin \(\Omega^e_0\) muodostavaan solmuun \(\alpha\) vaikuttava sisäinen voima.

UL/TL-vastaavuus ja laskennan kulku

Updated Lagrange- ja Total Lagrange -formulointien elementin sisäiset voimavektorit vastaavat toisiaan seuraavasti.

Suure Updated Lagrange -formulointi Total Lagrange -formulointi
Vertailukonfiguraatio Nykyinen konfiguraatio \({}^{t}\Omega^e\) Alkuperäinen konfiguraatio \(\Omega^e_0\)
Jännitystensori Cauchyn jännitys \(\boldsymbol{\sigma}\) Toinen PK-jännitys \(\boldsymbol{S}\)
Venymän variaatio \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B-matriisi \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Elementin sisäinen voima \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Molemmat käsitellään samalla menettelyllä: muotofunktioiden avaruusderivaatoista muodostetaan \(\boldsymbol{B}_L\); TL-formuloinnissa nykyisestä siirtymägradientista muodostetaan ja lisätään \(\boldsymbol{B}_{NL}\); jännitys (\(\boldsymbol{\sigma}\) tai \(\boldsymbol{S}\)) päivitetään konstitutiivisen lain mukaisesti; ja \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) tai \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) integroidaan numeerisesti elementin alueella integraatiopisteissä (Numeerinen integrointi). Vertailukonfiguraation vaihdon (solmukoordinaatit ja \(\boldsymbol{B}\)-matriisin muodostus) ja jännitystensorin vaihdon lisäksi käsittely on yhteinen, joten FrontISTR toteuttaa kummankin formuloinnin sisäisten voimien laskennan yhteisillä aliohjelmilla. Elementin sisäisten voimavektorien \(\boldsymbol{q}^e\) ja \(\boldsymbol{Q}^e\) kokoaminen globaaliksi sisäiseksi voimavektoriksi käsitellään luvussa Ulkoinen virtuaalityö ja globaalien yhtälöiden kokoaminen.

Liittyvät aiheet

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status