Fysikaalisten suureiden symboliluettelo
Tällä sivulla luetellaan FrontISTR:n teoriakäsikirjassa käytetyt fysikaalisten suureiden symbolit.
Merkintätavat (vektorien ja tensorien lihavointi, Einsteinin summaussääntö ja Voigt-merkintä) on kuvattu kohdassa
Tensorimerkinnät ja matemaattiset perusteet .
Konfiguraatiot ja koordinaattijärjestelmät
Symboli
Kuvaus
\(\boldsymbol{X}\) Materiaalipisteen paikkavektori referenssi- eli alkukonfiguraatiossa (materiaalikoordinaatit)
\(\boldsymbol{x}\) Materiaalipisteen paikkavektori nykykonfiguraatiossa (spatiaaliset koordinaatit)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Liikekuvaus: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Kappaleen varaama alue referenssikonfiguraatiossa
\(\Omega\) Kappaleen varaama alue nykykonfiguraatiossa
\(\Gamma_0\) Alueen \(\Omega_0\) reuna
\(\Gamma\) Alueen \(\Omega\) reuna
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geometrinen (siirtymä-) reuna: nyky-/referenssikonfiguraation reuna, jolla \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) on määrätty
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mekaaninen reuna: nyky-/referenssikonfiguraation reuna, jolla \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (tai \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\) ) on määrätty
\(\boldsymbol{n}\) Pinnan ulospäin suuntautuva yksikkönormaalivektori nykykonfiguraatiossa
\(\boldsymbol{N}\) Pinnan ulospäin suuntautuva yksikkönormaalivektori referenssikonfiguraatiossa
\(t\) Aika
Käytäntö : Referenssikonfiguraation fysikaaliset suureet merkitään isoilla kirjaimilla tai alaindeksillä \(0\) , kun taas nykykonfiguraation suureet merkitään pienillä kirjaimilla.
Aika ja inkrementit (inkrementaalinen analyysi)
Symboli
Kuvaus
\(\Delta t\) Aikainkrementti: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Fysikaalinen suure ajanhetkellä \(t\) (vasen yläindeksi). Esimerkiksi \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) on Cauchyn jännitys ajanhetkellä \(t\)
\(^{t}\Omega\) Nykykonfiguraation alue ajanhetkellä \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Nykykonfiguraation reuna ajanhetkellä \(t\)
Käytäntö : Inkrementaalisessa analyysissä tila ajanhetkeen \(t\) asti käsitellään tunnettuna ja tila ajanhetkellä \(t + \Delta t\) ratkaistaan tuntemattomana. Vasen yläindeksi jätetään pois, kun aikaa ei tarvitse ilmaista eksplisiittisesti. Formulointia, joka käyttää referenssinä referenssikonfiguraatiota \(\Omega_0\) , kutsutaan Total Lagrange -formuloinniksi, kun taas formulointia, joka käyttää referenssinä inkrementin alun nykykonfiguraatiota \(^{t}\Omega\) , kutsutaan Updated Lagrange -formuloinniksi.
Siirtymä, nopeus, kiihtyvyys ja tilavuusvoima
Symboli
Kuvaus
\(\boldsymbol{u}\) Siirtymävektori: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Geometrisella reunalla \(\Gamma_B\) määrätty siirtymä
\(\delta \boldsymbol{u}\) Virtuaalinen siirtymä (testifunktio): \(\Gamma_B\) reunalla \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\)
\(\boldsymbol{v}\) Nopeusvektori: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Kiihtyvyysvektori: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Tilavuusvoima (massayksikköä kohti)
\(\boldsymbol{t}\) Pintavoimavektori (pinta-alayksikköä kohti): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Mekaanisella reunalla \(\Gamma_t\) määrätty pintavoima (Neumann-data)
Differentiaalioperaattorit
Symboli
Kuvaus
\(\dot{(\cdot)}\) Materiaaliaikaderivaatta (samaa materiaalipistettä seuraava aikaderivaatta): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Referenssikonfiguraation gradientti (gradientti materiaalikoordinaattien \(\boldsymbol{X}\) suhteen): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Nykykonfiguraation gradientti (gradientti spatiaalisten koordinaattien \(\boldsymbol{x}\) suhteen): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Symmetrinen gradienttioperaattori: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)
Huomautus : \(\nabla_X\) ja \(\nabla_x\) liittyvät toisiinsa yhteydellä \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) . Gradienttia ilman alaindeksiä, \(\nabla\) , käytetään, kun konfiguraatio ilmenee asiayhteydestä tai ero katoaa, kuten pienten muodonmuutosten ongelmissa.
Muodonmuutostensorit
Symboli
Kuvaus
\(\boldsymbol{F}\) Muodonmuutosgradienttitensori: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Tilavuussuhde: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Oikea Cauchy-Greenin muodonmuutostensori: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Vasen Cauchy-Greenin muodonmuutostensori: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Nopeusgradienttitensori: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Muodonmuutosnopeustensori (\(\boldsymbol{L}\) :n symmetrinen osa): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Pyörähdystensori (\(\boldsymbol{L}\) :n vinosymmetrinen osa): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)
Venymätensorit
Symboli
Kuvaus
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrangen venymätensori (referenssikonfiguraatio): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansin venymätensori (nykykonfiguraatio): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansin venymätensorin lineaarinen osa (symmetrinen siirtymägradientti nykykonfiguraatiossa): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Infinitesimaalinen venymätensori (lineaarinen approksimaatio): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)
Huomautus : \(\boldsymbol{E}\) :tä käytetään ensisijaisesti Total Lagrange -formuloinnissa, kun taas \(\boldsymbol{D}\) :tä käytetään ensisijaisesti Updated Lagrange -formuloinnissa.
Jännitystensorit
Symboli
Kuvaus
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchyn jännitystensori (todellinen jännitys, nykykonfiguraatio): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Ensimmäinen Piola-Kirchhoffin jännitystensori (nimellisjännitys): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Toinen Piola-Kirchhoffin jännitystensori (referenssikonfiguraatio, symmetrinen): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
Jännitystensorien väliset muunnossuhteet:
\[
\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad
\boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T
\]
Käytäntö : Total Lagrange -formulointi käyttää paria \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) , kun taas Updated Lagrange -formulointi käyttää paria \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) .
Tiheys ja massa
Symboli
Kuvaus
\(\rho\) Massatiheys nykykonfiguraatiossa
\(\rho_0\) Massatiheys referenssikonfiguraatiossa
Massan säilyminen: \(\rho_0 = J\rho\) .
Materiaalivakiot (lineaarinen elastisuus)
Symboli
Kuvaus
\(E\) Youngin moduuli
\(\nu\) Poissonin luku
\(\lambda\) Ensimmäinen Lamén vakio: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Toinen Lamén vakio (leikkausmoduuli): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Elastisuustensori (neljättä kertalukua): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\) , komponentit \(C_{ijkl}\)
\(D\) (tai \(\hat{\tilde{C}}\) )Materiaalimatriisi (Voigt-merkintä, 3D:ssä \(6\times6\) ): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)
Isotrooppisen lineaarisesti elastisen materiaalin elastisuustensorin komponentit:
\[
C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})
\]
Hyperelastiset materiaalit
Symboli
Kuvaus
\(W(\boldsymbol{C})\) Elastinen potentiaalifunktio (venymäenergiatiheysfunktio)
\(I_1, I_2, I_3\) Oikean Cauchy-Greenin tensorin \(\boldsymbol{C}\) pääinvariantit
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Tensorin \(\boldsymbol{C}\) redusoidut invariantit (tilavuusmuutos erotettu)
\(C_1, C_2\) Mooney-Rivlin-mallin materiaalivakiot
\(D\) Tilavuuselastisuuteen liittyvä materiaalivakio
Elastoplastiset materiaalit
Symboli
Kuvaus
\(\boldsymbol{D}^e\) Muodonmuutosnopeustensorin elastinen osa
\(\boldsymbol{D}^p\) Muodonmuutosnopeustensorin plastinen osa
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Myötöfunktio
\(\kappa\) Plastista tilaa kuvaava sisäinen muuttuja (isotrooppisen lujittumisen muuttuja)
\(\lambda^p\) Plastinen kerroin (plastisen venymänopeuden kerroin): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Plastinen potentiaali (\(\Theta = F\) assosioidulle virtaussäännölle)
\(\bar{\sigma}\) Ekvivalenttijännitys (esim. von Mises -jännitys)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Ekvivalentti plastinen venymä
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Isotrooppinen lujittumisfunktio
Komplementaarisuusehto: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\) , \(\lambda^p \geq 0\) , \(F \leq 0\) .
Elementtimenetelmä
Symboli
Kuvaus
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Elementtidiskretisoinnilla approksimoidut nyky- ja referenssikonfiguraation alueet: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Elementin alue nyky- ja referenssikonfiguraatiossa
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Mekaaniseen reunaan kuuluva elementin reunan osa
\(\boldsymbol{r}\) Luonnolliset koordinaatit (elementin paikalliset koordinaatit)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Solmua \(\alpha\) vastaava piste luonnollisissa koordinaateissa
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Elementin \(e\) solmua \(\alpha\) vastaava muotofunktio
\(n_e\) Elementin muodostavien solmujen määrä
\(n_g\) Globaalien solmujen kokonaismäärä
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Elementtisolmun \(\alpha\) koordinaatit ja siirtymä
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Elementin solmukoordinaatti- ja siirtymävektorit: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) jne.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globaalit solmukoordinaatti- ja siirtymävektorit (järjestetty ensin solmun numeron, sitten vapausasteen mukaan)
\(\boldsymbol{B}\) Venymä-siirtymäyhteyden matriisi (B-matriisi)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Muotofunktiomatriisi: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) on \(\alpha\) -lohko, jonka diagonaalilla on solmun \(N_\alpha^e\) muotofunktio \(d \times d\) , ja \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) . \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Elementin jäykkyysmatriisi
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Elementin jäykkyysmatriisin integroitavat lausekkeet (esitetty referenssi- ja nykykonfiguraatiossa): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formulointi), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formulointi)Elementin sisäisten voimien vektori
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Elementtisolmuun \(\alpha\) vaikuttava solmun ulkoinen voima sekä elementin solmujen ulkoisten voimien vektori: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Globaali sisäisten voimien vektori ja globaali ulkoisten voimien vektori: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\) ; vastaavasti \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Globaalin solmun \(i_g\) solmun sisäinen ja ulkoinen voima (vektorien \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) solmulohkot)
\(\boldsymbol{K}\) Globaali tangentiaalinen jäykkyysmatriisi: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\) . Matriisi muodostetaan sijoittamalla \(3\times 3\) -lohko \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) riville \(i_g\) , sarakkeeseen \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Newton-Raphson-iteroinnin residuaalivektori: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Newton-Raphson-iteroinnin korjaus (saadaan ratkaisemalla iteraatiossa \(i\) lineaarinen yhtälö \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) )
\(i_g\) Globaali solmunumero (\(1 \leq i_g \leq n_g\) )
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Elementin \(e\) paikallista solmunumeroa \(\alpha\) vastaava globaali solmunumero: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Globaalia solmunumeroa \(i_g\) vastaavien \((e, \alpha)\) -parien joukko: \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\) . Käytetään kokoamisoperaatioissa
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Globaalien solmunumeroiden paria \((i_g, i_h)\) vastaavien \((e, \alpha, \beta)\) -monikkojen joukko; käytetään jäykkyysmatriisin kokoamiseen
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Elementin muodostavien solmujen indeksit
\(i, j, k, l, \ldots\) Vapausasteiden indeksit (3D:ssä \(1, 2, 3\) )
Edistyneet elementit ja rakenne-elementit
Symboli
Kuvaus
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Venymä-siirtymäyhteyden matriisi, jonka tilavuusosaa on muutettu B-bar-menetelmällä (tilavuuskomponentti korvataan elementin keskipisteessä arvioidulla B-matriisilla)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Muodonmuutosgradientti, jonka tilavuusosaa on muutettu F-bar-menetelmällä: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Elementin keskipisteessä \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) arvioidun muodonmuutosgradientin tilavuussuhde: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Incompatible-mode-elementin sisäinen vapausastevektori (sellaisten lisäsiirtymämuotojen kertoimet, jotka eivät pakota jatkuvuutta elementin reunalla)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Incompatible-muotojen muotofunktiot: \(M_1=1-\xi^2\) , \(M_2=1-\eta^2\) , \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Kuorielementin paksuus
\(A\) Palkkielementin poikkipinta-ala
\(I\) Palkkielementin poikkileikkauksen toinen momentti
\(G\) Leikkausmoduuli: \(G = E/[2(1+\nu)]\)
Aiheeseen liittyvät kohdat