Hyppää sisältöön

Elastoplastisuus

Tässä luvussa kuvataan FrontISTRin käyttämän elastoplastisen konstitutiivisen lain kehys. Valintaa ja syöttömäärityksiä koskevat yksityiskohdat ovat Toiminnot-osan kohdassa 03_material.

Ilmiö (plastinen muodonmuutos)

TBD (kirjoitetaan seuraavassa vaiheessa).

Konstitutiivisen lain kehys

FrontISTR käyttää assosioituun virtaussääntöön perustuvaa elastoplastista konstitutiivista yhtälöä. Konstitutiivinen yhtälö ilmaisee Kirchhoffin jännityksen Jaumann-nopeuden ja muodonmuutosnopeustensorin välisen yhteyden, ja muodonmuutosanalyysissä käytetään Updated Lagrangen formulointia.

Oletetaan, että elastoplastisen materiaalin myötöehto annetaan seuraavasti.

Alkumyötöehto:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Myöhempi myötöehto:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

missä

  • \(F\): myötöfunktio
  • \(\sigma_{y_0}\): alkuperäinen myötöjännitys
  • \(\sigma_y\): myöhempi myötöjännitys
  • \(\sigma\): jännitystensori
  • \(e\): infinitesimaalinen venymätensori
  • \(e^p\): plastinen venymätensori
  • \(\overline{e}^p\): ekvivalentti plastinen venymä

Myötöjännityksen ja ekvivalentin plastisen venymän välisen yhteyden oletetaan vastaavan yksiaksiaalisen tilan jännitys–plastinen venymä -yhteyttä.

Jännitys–plastinen venymä -yhteys yksiaksiaalisessa tilassa

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

missä \(H'\) on venymälujittumismoduuli.

Ekvivalenttijännityksen ja ekvivalentin plastisen venymän välinen yhteys

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Yleisesti myöhempi myötöfunktio on lämpötilan ja plastisen venymätyön funktio, mutta tässä se oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi vain ekvivalentin plastisen venymän \(\overline{e}^p\) funktioksi. Plastisen muodonmuutoksen edetessä ehdon \(F = 0\) on pysyttävä voimassa, joten seuraavan yhtälön on toteuduttava.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Tässä \(\dot{F}\) tarkoittaa \(F\):n aikaderivaattaa. Jatkossa suureen \(A\) aikaderivaattaa merkitään \(\dot{A}\).

Oletetaan plastisen potentiaalin \(\Theta\) olemassaolo ja ilmaistaan plastisen venymän nopeus seuraavalla yhtälöllä.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Tässä \(\dot{\lambda}\) on kerroin.

Lisäksi, kun plastisen potentiaalin \(\Theta\) oletetaan olevan yhtä suuri kuin myötöfunktio \(F\), käytetään seuraavaa assosioitua virtaussääntöä.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Kun tämä yhtälö sijoitetaan konsistenssiehtoon, saadaan seuraava yhtälö.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Tässä \(D\) on elastisuusmatriisi, ja

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Elastoplastinen jännitys–venymä-yhteys voidaan kirjoittaa seuraavasti.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Kun elastoplastisen materiaalin myötöfunktio \(F\) tunnetaan, sen konstitutiivinen yhtälö saadaan tästä lausekkeesta.

Myötöfunktiot

FrontISTRin käyttämät elastoplastiset myötöfunktiot luetellaan alla.

von Misesin myötöfunktio

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Tässä \(J_2\) on deviatorisen jännitystensorin toinen invariantti.

Mohr–Coulombin myötöfunktio

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Tässä \(\sigma_1, \sigma_3\) ovat suurin ja pienin pääjännitys, \(c\) on koheesio ja \(\phi\) sisäinen kitkakulma.

Drucker–Pragerin myötöfunktio

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Tässä materiaalivakiot \(\alpha\) ja \(\sigma_y\) lasketaan materiaalin koheesiosta ja kitkakulmasta seuraavasti.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Liittyvät aiheet

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status