Hyppää sisältöön

Geometristen reunaehtojen käsittely

Newton–Raphson-menetelmä ratkaisee jokaisella iteraatiolla lineaarisen yhtälön \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\), mutta geometrisia reunaehtoja (siirtymärajoitteita) ei vielä ole sisällytetty tähän yhtälöön. Tässä luvussa esitetään, miten jäykkyysmatriisia \(\boldsymbol{K}\) ja residuaalivektoria \(\boldsymbol{R}\) muutetaan niille vapausasteille, joihin sovelletaan siirtymärajoitteita \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\), jotta iteraation jälkeinen siirtymä saavuttaa määrätyn arvon. Monipisterajoitteet (MPC) ja kontaktiin liittyvät epälineaariset rajoitteet käsitellään erikseen; katso Monipisterajoitteet ja Kontakti.

Menettely, jossa siirtymärajoitteet säilytetään tuntemattomina muuttujina

Geometrisen reunaehdon alaisen solmun siirtymä ei enää ole tuntematon muuttuja, vaan se on kiinnitetty määrättyyn arvoon \(\bar{u}_i\). Nämä vapausasteet voitaisiin käsitellä vakioina ja eliminoida lineaarisesta yhtälöstä \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\); FrontISTR kuitenkin toteuttaa rajoitteet muuttamalla \(\boldsymbol{K}\)-matriisia ja \(\boldsymbol{R}\)-vektoria samalla kun rajoitetut vapausasteet säilytetään korjausvektorissa \(d\boldsymbol{u}\) muiden vapausasteiden tapaan.

Tässä lähestymistavassa kerroinmatriisin koko ja vapausasteiden järjestys eivät muutu sen mukaan, onko rajoitteita vai ei, joten muuttujia ei tarvitse eliminoida eikä vapautuneita rivejä ja sarakkeita pakata uudelleen. Koska tällainen uudelleenpakkaus on hankalaa toteutuksessa, jossa kerroinmatriisi tallennetaan harvan matriisin muodossa, FrontISTR käyttää jälkimmäistä lähestymistapaa, jossa rajoitteet toteutetaan pelkästään päivittämällä kerroinmatriisia ja oikeaa puolta.

Newton–Raphson-korjausten tavoitearvo

Olkoon siirtymärajoitetulle vapausasteelle \(i\) Newton–Raphson-iteraatiossa saatu korjaus \(du_i\)

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1. iteraatio}) \\ 0 & (\text{2. ja sitä seuraavat iteraatiot}) \end{cases} \]

Muuta \(\boldsymbol{K}\) ja \(\boldsymbol{R}\) siten, että korjaus saa tämän arvon. Tällöin siirtymäinkrementti saavuttaa määrätyn arvon \(\bar{u}_i\) ensimmäisessä iteraatiossa; toisesta iteraatiosta alkaen korjaus on \(0\) ja määrätty arvo säilyy.

Matriisin ja residuaalivektorin muuttamismenettely

Edellisessä osassa kuvattu tavoitearvo saavutetaan seuraavilla kahdella muutoksella säilyttäen lineaarisen yhtälön \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) muoto.

  1. Rivin \(i\) diagonalisoiminen: Korvaa diagonaalitermi \(K_{ii}\), joka on \(du_i\):n kerroin, arvolla \(1\), korvaa kaikki muut kertoimet \(K_{ij}\ (j \not= i)\) arvolla \(0\) ja aseta oikeaksi puoleksi \(R_i \to d\bar{u}_i\). Tällöin rivin \(i\) yhtälöksi tulee \(du_i = d\bar{u}_i\).
  2. Siirto riveiltä \(j(\not= i)\): Jos kullakin rivillä \(j(\not= i)\) pätee \(K_{ji} \not= 0\), siirrä termi \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) oikealle puolelle. Toisin sanoen vähennä oikealta puolelta \(K_{ji} d\bar{u}_i\) ja aseta \(du_i\):n kerroin \(K_{ji}\) arvoon \(0\).

Komponenttimuodossa yhtälöt ennen muutosta ja sen jälkeen vastaavat toisiaan seuraavasti.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Merkitään muutettua kerroinmatriisia ja oikeaa puolta vastaavasti \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\). Lopuksi ratkaistava lineaarinen yhtälö on

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Jos rajoitettuja vapausasteita on useita, edellä kuvatut muutokset 1 ja 2 sovelletaan peräkkäin kuhunkin rajoitettuun vapausasteeseen \(i\).

Käsittelyn laajuus harvan matriisin toteutuksessa

Toteutuksessa kerroinmatriisi \(\boldsymbol{K}\) tallennetaan harvan matriisin muodossa. Siksi edellisen osan menettelyn 2 rivien \(j(\not= i)\) käsittely tehdään vain riveille, joilla sarakkeessa \(i\) on nollasta poikkeavia alkioita, eli niiden solmujen vapausasteille, jotka ovat elementtien kautta yhteydessä rajoitettuun vapausasteeseen \(i\). Yhteydettömille vapausasteille \(K_{ji} = 0\), joten termin siirtäminen ei muuta oikeaa puolta. Tämän rajauksen ansiosta rajoitekäsittely voidaan suorittaa käyttämällä vain paikallisia operaatioita suhteessa solmujen kokonaismäärään.

Liittyvät aiheet

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status