Jännitys ja säilymislait¶

Tässä luvussa jäsennetään jännitystensorien määritelmät ja keskinäiset suhteet sekä massan, liikemäärän ja liikemäärämomentin säilymisestä johdetut tasapainoyhtälöt ja jännityksen symmetria. Kolme jännitystensoria—Cauchyn jännitys \(\boldsymbol{\sigma}\), ensimmäinen Piola–Kirchhoffin jännitys \(\boldsymbol{P}\) ja toinen Piola–Kirchhoffin jännitys \(\boldsymbol{S}\)—esitellään sen mukaan, mitä konfiguraatiota käytetään vertailupinnalle ja voimavektorille. Konfiguraation, liikkeen ja muodonmuutosgradientin määritelmät esitetään luvussa Liike, muodonmuutos ja venymä ja symboliluettelo luvussa Fysikaalisten suureiden symboliluettelo.

Cauchyn jännitystensori¶

Olkoon \(d\boldsymbol{f}\) nykyisen konfiguraation pisteessä \(\boldsymbol{x}\) olevalle infinitesimaaliselle pinnalle vaikuttava voima (pinta-ala \(d\Gamma\), ulospäin suuntautuva yksikkönormaali \(\boldsymbol{n}\)), ja määritellään pintavoimavektori \(\boldsymbol{t}\) pinta-alayksikköä kohti vaikuttavaksi voimaksi yhtälöllä \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) riippuu sekä sijainnista \(\boldsymbol{x}\) että normaalista \(\boldsymbol{n}\). Liikemäärän säilymisen soveltaminen infinitesimaaliseen tetraedriin osoittaa, että \(\boldsymbol{t}\) on lineaarinen \(\boldsymbol{n}\):n suhteen, joten on olemassa toisen kertaluvun tensori \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) siten, että

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

millä tahansa \(\boldsymbol{n}\):llä (Cauchyn jännitysteoreema). Tätä tensoria \(\boldsymbol{\sigma}\) kutsutaan Cauchyn jännitystensoriksi ja myös todelliseksi jännitykseksi, koska se ilmaisee pinta-alayksikköä kohti vaikuttavan voiman nykyisen konfiguraation geometrian suhteen mitattuna. Komponentti \(\sigma_{ij}\) kuvaa nykyisessä konfiguraatiossa koordinaattiakseliin \(x_j\) nähden normaalille infinitesimaaliselle pinnalle vaikuttavan pinta-alayksikkökohtaisen voiman \(x_i\)-komponenttia.

Kuten jäljempänä liikemäärämomentin säilymisestä osoitetaan, Cauchyn jännitys on symmetrinen tensori:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Siksi sillä on kolmiulotteisessa tapauksessa kuusi riippumatonta komponenttia (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Jännityksen vektorointi Voigtin merkintätavassa perustuu tähän symmetriaan (katso Tensorimerkinnät ja matemaattiset perusteet). Cauchyn jännitystä käytetään FrontISTRin Updated Lagrange -menetelmän geometrisesti epälineaarisen analyysin jännitystulosteissa sekä pienten muodonmuutosten analyysissä.

Ensimmäinen ja toinen Piola–Kirchhoffin jännitys¶

Äärellisissä muodonmuutoksissa jännitys on usein tarkoituksenmukaista ilmaista referenssikonfiguraation pintojen ja vektorien suhteen, joten käyttöön otetaan kaksi Piola–Kirchhoffin jännitystensoria. Olkoon referenssikonfiguraation infinitesimaalisen pinnan pinta-ala \(d\Gamma_0\) ja sen ulospäin suuntautuva yksikkönormaali \(\boldsymbol{N}\).

Ensimmäinen Piola–Kirchhoffin jännitys (ensimmäinen PK-jännitys, nimellisjännitys) \(\boldsymbol{P}\) määritellään jännitystensoriksi, joka saadaan, kun nykyisen konfiguraation voima \(d\boldsymbol{f}\) kohdistetaan referenssikonfiguraation infinitesimaaliselle pinnalle:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Nansonin kaavan \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) ja Cauchyn jännitysteoreeman avulla saadaan yhteys Cauchyn jännitykseen

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Ensimmäinen PK-jännitys on yleisesti epäsymmetrinen.

Toinen Piola–Kirchhoffin jännitys (toinen PK-jännitys) \(\boldsymbol{S}\) määritellään jännitystensoriksi, joka saadaan palauttamalla nykyisen konfiguraation voima \(d\boldsymbol{f}\) referenssikonfiguraatioon \(\boldsymbol{F}^{-1}\):llä ja kohdistamalla se referenssikonfiguraation infinitesimaaliselle pinnalle:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Sekä voimavektori että pinta, johon se vaikuttaa, ilmaistaan referenssikonfiguraation suureilla, minkä vuoksi suure on invariantti jäykän kappaleen kierron suhteen ja symmetrinen. Sen yhteys ensimmäiseen PK-jännitykseen ja muunnos Cauchyn jännityksestä ovat

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Toinen PK-jännitys johdetaan hyperelastisesta venymäenergiafunktiosta \(W(\boldsymbol{C})\) muodossa \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\), ja Total Lagrange -menetelmässä sitä käytetään yhdessä Green–Lagrangen venymän \(\boldsymbol{E}\) kanssa työkongruenttina parina \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Referenssikonfiguraatiot ja symmetriaominaisuudet on koottu alle. Pienten muodonmuutosten rajalla (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) kaikki kolme jännitystä yhtyvät.

Jännitystensori	Vertailupinta	Voimavektori	Symmetria	Käyttö
Cauchyn jännitys \(\boldsymbol{\sigma}\)	Nykyinen konfiguraatio \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Nykyinen konfiguraatio \(d\boldsymbol{f}\)	Symmetrinen	Updated Lagrange -menetelmä / pienten muodonmuutosten analyysi
Ensimmäinen PK-jännitys \(\boldsymbol{P}\)	Referenssikonfiguraatio \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Nykyinen konfiguraatio \(d\boldsymbol{f}\)	Yleensä epäsymmetrinen	Referenssikonfiguraation tasapainoyhtälöt
Toinen PK-jännitys \(\boldsymbol{S}\)	Referenssikonfiguraatio \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Referenssikonfiguraatio \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Symmetrinen	Total Lagrange -menetelmä / hyperelastisuus

Massan ja liikemäärän säilyminen sekä tasapainoyhtälöt¶

Olkoon \(\rho\) massatiheys nykyisessä konfiguraatiossa ja \(\rho_0\) massatiheys referenssikonfiguraatiossa. Massan säilymislaki \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) yhdessä tilavuuselementin muunnoksen \(dv = J\, dV\) kanssa palautuu paikalliseen muotoon

\[ \rho_0 = J \rho \]

Tämä on massan säilymisen paikallinen relaatio.

Olkoon \(\boldsymbol{g}\) massayksikköä kohti vaikuttava tilavuusvoima ja \(\boldsymbol{a}\) kiihtyvyys. Soveltamalla Cauchyn jännitysteoreemaa ja Gaussin divergenssiteoreemaa liikemäärän säilymiseen (Eulerin ensimmäinen liikelaki) saadaan nykyisen konfiguraation paikallinen tasapainoyhtälö (liikeyhtälö):

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Kirjoittamalla integraali referenssikonfiguraatiossa Nansonin kaavan ja relaation \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) avulla saadaan referenssikonfiguraation paikallinen muoto:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Nämä kaksi muotoa ovat ekvivalentteja jännityksen muunnossäännön ja relaation \(\rho_0 = J\rho\) kautta. Kun inertiatermi jätetään huomiotta, saadaan

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

joka on staattinen tasapainoyhtälö ja FrontISTRin staattisen analyysin (lineaarisen ja epälineaarisen) lähtökohta.

Liikemäärämomentin säilyminen ja jännityksen symmetria¶

Yhdistämällä liikemäärämomentin säilyminen (Eulerin toinen liikelaki) liikemäärän säilymisestä saatuun tasapainoyhtälöön saadaan Cauchyn jännitystensorin symmetria:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Siten sillä on kolmiulotteisessa tapauksessa kuusi riippumatonta komponenttia. Kun muunnoksen \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) molemmista puolista otetaan transpoosi ja hyödynnetään \(\boldsymbol{F}\):n ei-singulaarisuutta, nähdään, että myös toinen PK-jännitys on symmetrinen:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

ja sillä on siten myös kuusi riippumatonta komponenttia. Sen sijaan ensimmäinen PK-jännitys \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) ei yleensä ole symmetrinen; vain relaatio \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) pätee (eli \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) on symmetrinen), ja sillä on yhdeksän riippumatonta komponenttia.

Nämä symmetriat muodostavat perustan jännityksen esittämiselle kuusikomponenttisena vektorina Voigtin merkintätavassa. Voigtin merkintätavan käytännöt ja materiaalimatriisien muodostaminen esitetään luvuissa Tensorimerkinnät ja matemaattiset perusteet ja Lineaarinen elastisuus.